Trắc nghiệm · Câu 19
Một sợi dây kim loại dài $ 60{ \rm{ cm } } $ được cắt thành hai đoạn. Đoạn thứ nhất được uốn thành một hình vuông, đoạn thứ hai được uốn thành một vòng tròn. Hỏi khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn ở trên nhỏ nhất thì chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
B.
$ 33,61{ \rm{ cm } } $.
Lời giải
Chọn B
Gọi $ x{ \rm{ } }\left ( { 0 < x < 60 } \right ) $ là chiều dài của đoạn thứ hai, suy ra $ 60-x $ là độ dài đoạn thứ nhất.
Khi đó cạnh hình vuông là $ 15-\frac { x } { 4 } $ nên diện tích hình vuông là $ \left ( { 15-\frac { x } { 4 } } \right ) ^ { 2 } $.
Chu vi của vòng tròn là $ 2\pi R=x⇒R=\frac { x } { 2\pi } $. Khi đó diện tích hình tròn là $ \pi R ^ { 2 } =\frac { x ^ { 2 } } { 4\pi } $.
Khi đó tổng diện tích của hai hình sẽ là $ f\left ( { x } \right )=\frac { x ^ { 2 } } { 4\pi }+\left ( { 15-\frac { x } { 4 } } \right ) ^ { 2 } $.
Khi đó ta có $ f'\left ( { x } \right )=\frac { x } { 2\pi }-\frac { 1 } { 2 }\left ( { 15-\frac { x } { 4 } } \right )=\frac { x } { 2 }\left ( { \frac { 1 } { \pi }+\frac { 1 } { 4 } } \right )-\frac { 15 } { 2 } $.
Cho $ f'\left ( { x } \right )=0⇒x=\frac { 15 } { \frac { 1 } { \pi }+\frac { 1 } { 4 } } $. Suy ra tổng diện tích hai hình nhỏ nhất khi $ x=\frac { 60\pi } { 4+\pi } $.
Khi đó chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông sẽ là $ 60-\frac { 60\pi } { 4+\pi }≈33,61{ \rm{ cm } } $.