Công ti mĩ phẩm chuẩn bị cho ra một mẫu sản phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế là một khối cầu như viên ngọc trai khổng lồ, bên trong là một khối trụ nằm trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng da như hình vẽ. Theo dữ kiện, nhà sản xuất dự định thiết kế khối cầu có bán kính là $R = 3\sqrt{3}\text{ cm}$. Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem sao cho thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất.

Lời giải Gọi $h$ và $r$ lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của khối trụ ($0 < h < R$). Theo định lý Pytago, ta có $r^2 = R^2 - h^2$. Thể tích khối trụ là: $$ V = \pi r^2 h = \pi h(R^2 - h^2) = \pi (R^2 h - h^3) $$ Xét hàm số $f(h) = R^2 h - h^3$ với $h \in (0; R)$. Đạo hàm: $$ f'(h) = R^2 - 3h^2 $$ Giải $f'(h) = 0 \Leftrightarrow 3h^2 = R^2 \Leftrightarrow h = \frac{R}{\sqrt{3}}$ (vì $h > 0$). Tại $h = \frac{R}{\sqrt{3}}$, thể tích $V$ đạt giá trị lớn nhất: $$ V_{\max} = \pi \cdot \frac{R}{\sqrt{3}} \left( R^2 - \frac{R^2}{3} \right) = \pi \cdot \frac{R}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2R^2}{3} = \frac{2\pi R^3}{3\sqrt{3}} $$ Với $R = 3\sqrt{3}$, ta có: $$ V_{\max} = \frac{2\pi (3\sqrt{3})^3}{3\sqrt{3}} = \frac{2\pi \cdot 27 \cdot 3\sqrt{3}}{3\sqrt{3}} = 54\pi \text{ (cm}^3\text{)} $$