Một con cá hồi bơi ngược dòng nước để vượt một khoảng cách là $ 300 km $. Vận tốc dòng nước là $ 5( km/h) $. Nếu vận tốc bơi của cá khi nước đứng yên là $ v( km/h) $ thì năng lượng tiêu hao của cá trong $ t $ giờ được cho bởi công thức $ E(v)=cv ^ { 3 } t $ (trong đó $ c $ là hằng số dương, $ E $ được tính bằng đơn vị Jun). Cá bơi ngược dòng quãng đường $ 300 km $ trong khoảng thời gian $ t $ với vận tốc bằng bao nhiêu để năng lượng tiêu hao là thấp nhất ?

Vận tốc khi cá bơi ngược dòng sẽ là: $ v-5 $ ( km/h), (với $ v>5 $). Thời gian để cá bơi quãng đường $ 300 km $ là $ t=\frac { 300 } { v-5 } $ (h). Năng lượng tiêu hao là: $ E(v)=300c\frac { v ^ { 3 } } { v-5 } $ (J). Do $ c>0⇒E(v) $ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $ f(\,v\,)=\frac { v ^ { 3 } } { v-5 } $ đạt giá trị nhỏ nhất. Ta có: $ f ^ { ′ } (v)=\frac { 3v ^ { 2 } (v-5)-v ^ { 3 } } { (v-5) ^ { 2 } }=\frac { 2v ^ { 3 } -15v ^ { 2 } } { (v-5) ^ { 2 } }=0⇔\left[ \begin{array}{l} v=0 \\ v=7.5 \end{array} \right. $. Vì $ v>5 $ nên ta nhận $ v=7.5 $, và đây là giá trị làm $ f(v) $ đạt nhỏ nhất trên miền xác định. Vậy để năng lượng tiêu hao là thấp nhất thì vận tốc là $ 7.5 $ ( km/h).