Trắc nghiệm · Câu 23
Bác thợ hàn dùng một thanh kim loại dài $ 4\,m $ để uốn thành khung cửa sổ có dạng như hình vẽ. Gọi $ r $ là bán kính của nửa đường tròn. Tìm $ r $ (theo $ m $) để diện tích tạo thành đạt giá trị lớn nhất.
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
C.
$ \frac { 4 } { \pi +4 } $
Lời giải
Chọn C
Ta có $ 2\left ( { h+r } \right )+\pi r=4⇒h=\frac { 4-2r-\pi r } { 2 } $.
Diện tích của khung cửa là $ S=\frac { 1 } { 2 }\pi r ^ { 2 } +2rh=\frac { 1 } { 2 }\pi r ^ { 2 } +2r\left ( { \frac { 4-2r-\pi r } { 2 } } \right )=-\frac { \pi +4 } { 2 }.r ^ { 2 } +4r $.
Ta có $ h=\frac { 4-2r-\pi r } { 2 }>0⇔0 < r < \frac { 4 } { \pi +2 } $.
Xét hàm số $ S\left ( { r } \right )=-\frac { \pi +4 } { 2 }.r ^ { 2 } +4r $ trên $ \left ( { 0;\frac { 4 } { \pi +2 } } \right ) $.
$ S'\left ( { r } \right )=-\left ( { \pi +4 } \right )r+4=0⇔r=\frac { 4 } { \pi +4 } $
Bảng biến thiên
$ ⇒S\left ( { r } \right ) $ đạt giá trị lớn nhất $ ⇔r=\frac { 4 } { \pi +4 } $.