Hai con tàu $ A $ và $ B $ đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lí. Cả hai tàu đồng thời cùng khởi hành. Tàu A chạy về hướng Nam với 6 hải lí/giờ, còn tàu $ B $ chạy về vị trí hiện tại của tàu $ A $ với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao lâu thì khoảng cách giữa hai tàu là bé nhất?

Tại thời điểm $ t $, sau khi xuất phát, khoảng cách giữa hai tàu là $ d $. Khi đó tàu $ A $ đang ở vị trí $ A_{ 1 } $ và tàu $ B $ đang ở vị trí $ B_{ 1 } $ như hình vẽ trên. Ta có $ d ^ { 2 } =AB_{ 1 } ^{ 2 }+AA_{ 1 } ^{ 2 }=\left ( { 5-BB_{ 1 } } \right ) ^ { 2 } +AA_{ 1 } ^{ 2 }=(5-7t) ^ { 2 } +(6t) ^ { 2 } . $ Quãng đường tàu $ B $ đi được là $ BB_{ 1 } =v_{ B } ⋅t=7t $. Quãng đường tàu $ A $ đi được là $ AA_{ 1 } =v_{ A } .t=6t $. Vậy $ d=\sqrt{85t ^ { 2 } -70t+25} $. Đặt $ f(t)=\sqrt{85t ^ { 2 } -70t+25} $ (với $ t>0$). Bài toán trở thành tìm $ \min_{ t\in (0;5) } f(t) $. Ta có $ f ^ { ′ } (t)=\frac { 170t-70 } { 2\sqrt{85t ^ { 2 } -70t+25} },f ^ { ′ } (t)=0⇔t=\frac { 7 } { 17 }(h). $ Lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, ta có $ \min_{ t\in (0;5) } f(t)=f\left ( { \frac { 7 } { 17 } } \right )=\frac { 6\sqrt{85} } { 17 }≈3,524 $ (hải lí)