Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3x + 2$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $(d): y = 9x + 18$. Biết đường thẳng $(d)$ là tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M(x_{0}; y_{0})$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = x^{2} - 3$. Sai. b. Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M$ là $f'(x_{0}) = 9$. Đúng. c. Giá trị $y_{0} - x_{0} = -2$. Sai. d. Số điểm chung của đồ thị $(C)$ và đường thẳng $(d)$ là hai. Đúng. Lời giải: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng Lời giải Ta có $f'(x) = 3x^{2} - 3$. Vì $M(x_{0}; y_{0})$ là tiếp điểm với đường thẳng $(d)$ có hệ số góc là $9$ nên: $$ f'(x_{0}) = 9 \Leftrightarrow 3x_{0}^{2} - 3 = 9 \Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_{0} = 2 \ x_{0} = -2 \end{array} ight. $$ Với $x_{0} = 2$, $y_{0} = 2^{3} - 3(2) + 2 = 4$. Điểm $M_{2}(2; 4)$. Thay vào $(d)$: $9(2) + 18 = 36 
eq 4$. Vậy $M_{2} 
otin (d)$. Với $x_{0} = -2$, $y_{0} = (-2)^{3} - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0$. Điểm $M_{1}(-2; 0)$. Thay vào $(d)$: $9(-2) + 18 = 0$. Vậy $M_{1} \in (d)$. Do đó $x_{0} = -2, y_{0} = 0 \Rightarrow y_{0} - x_{0} = 0 - (-2) = 2$. Xét phương trình giao điểm: $$ x^{3} - 3x + 2 = 9x + 18 \Leftrightarrow x^{3} - 12x - 16 = 0 \Leftrightarrow (x + 2)^{2}(x - 4) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = -2 \ x = 4 \end{array} ight. $$ Vậy có hai giao điểm.

Cho hàm số $y = f(x) = x^{3} - 3x + 2$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $(d): y = 9x + 18$. Biết đường thẳng $(d)$ là tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm $M(x_{0}; y_{0})$.

Cùng dạng: Tìm giao điểm, số giao điểm của hai đồ thị hàm số