Cho hàm số $ y=x ^ { 3 } -3x+1 $ có đồ thị $ \left ( { C } \right ) $. Gọi $ A\left ( { x_{ A } ; y_{ A } } \right ) $, $ B\left ( { x_{ B } ; y_{ B } } \right ) $ với $ x_{ A } < x_{ B } $ là các điểm thuộc $ \left ( { C } \right ) $ sao cho tiếp tuyến tại $ A $, $ B $ song song với nhau và $ AB=4\sqrt[] { 2 } $. Tính $ S=3x_{ A } -5x_{ B } $.

Ta có $ y'=3x ^ { 2 } -3 $. Khi đó $ y'\left ( { x_{ A } } \right )=y'\left ( { x_{ B } } \right ) ⇔3x_{ A } ^{ 2 }-3=3x_{ B } ^{ 2 }-3 ⇔x_{ A } ^{ 2 }=x_{ B } ^{ 2 } ⇔\left[ \begin{array}{l} x_{ A } =x_{ B } \\ x_{ A } =-x_{ B } \end{array} \right. ⇔x_{ A } =-x_{ B } $ (do $ A $, $ B $ phân biệt). $ AB=4\sqrt[] { 2 } ⇔AB ^ { 2 } =32 ⇔\left ( { x_{ B } -x_{ A } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { y_{ B } -y_{ A } } \right ) ^ { 2 } =32 $ $ ⇔4x_{ B } ^{ 2 }+\left ( { x_{ B } ^{ 3 }-3x_{ B } +1-x_{ A } ^{ 3 }+3x_{ A } -1 } \right ) ^ { 2 } =32 ⇔4x_{ B } ^{ 2 }+\left ( { 2x_{ B } ^{ 3 }-6x_{ B } } \right ) ^ { 2 } =32 ⇔4x_{ B } ^{ 2 }+4x_{ B } ^{ 6 }-24x_{ B } ^{ 4 }+36x_{ B } ^{ 2 }=32 ⇔4x_{ B } ^{ 6 }-24x_{ B } ^{ 4 }+40x_{ B } ^{ 2 }-32=0 $ $ ⇔x_{ B } ^{ 2 }=4 ⇔\left[ \begin{array}{l} x_{ B } =2⇒x_{ A } =-2 \\ x_{ B } =-2⇒x_{ A } =2 \end{array} \right. $. Vậy $ x_{ B } =2,\,\,x_{ A } =-2 $ nên $ S=3x_{ A } -5x_{ B } =-16 $.