Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Góc giữa hai mặt phẳng $(AB'C')$ và $(AC'D')$ có số đo là bao nhiêu độ?

Lời giải Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $BC \perp (ABB'A') \Rightarrow BC \perp AB'$ (1). Mặt khác $A'B \perp AB'$ (hai đường chéo của hình vuông) (2). Từ (1) và (2) suy ra $AB' \perp (BCD'A')$ (3). Mà $AB' \subset (ADC'B')$ nên $(ADC'B') \perp (BCD'A')$. Nhận xét: $(AB'C') \equiv (ADC'B')$ và $(AC'D') \equiv (ABC'D')$. Ta có: $$ \left\{ \begin{array}{l} CD' \perp C'D \\ CD' \perp AD \text{ (do } AD \perp (CDD'C')\text{)} \end{array} \right. \Rightarrow CD' \perp (ADC'B') $$ Tương tự: $$ \left\{ \begin{array}{l} B'C \perp BC' \\ B'C \perp AB \text{ (do } AB \perp (BCC'B')\text{)} \end{array} \right. \Rightarrow B'C \perp (ABC'D') $$ Suy ra góc giữa hai mặt phẳng $(AB'C')$ và $(AC'D')$ bằng góc giữa hai đường thẳng $CD'$ và $CB'$: $$ \Big((AB'C'), (AC'D')\Big) = (CD', CB') $$ Giả sử cạnh hình lập phương bằng $a$. Ta có $CB' = CD' = B'D' = a\sqrt{2}$ (đều là đường chéo của các hình vuông cạnh $a$). Suy ra tam giác $CB'D'$ là tam giác đều. Do vậy: $$ \Big((AB'C'), (AC'D')\Big) = (CD', CB') = \widehat{B'CD'} = 60^{\circ} $$