Cho $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc và không đồng phẳng. Biết $OA = OB = a\sqrt{3}$, $OC = a$. Tìm số đo độ của góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(OAB)$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Lời giải Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Xét $\Delta OAB$ có $OA = OB = a\sqrt{3} \Rightarrow \Delta OAB$ cân tại $O$. Mà $OM$ là đường trung tuyến nên $OM$ cũng là đường cao $\Rightarrow OM \perp AB$. Lại có: $OC \perp OA$, $OC \perp OB \Rightarrow OC \perp (OAB) \Rightarrow OC \perp AB$. Mà $OM \perp AB$ nên $AB \perp (OCM) \Rightarrow AB \perp CM$. $$ \Rightarrow \Big((OAB), (ABC)\Big) = \widehat{OMC} $$ Xét $\Delta OAB$ vuông cân tại $O$ nên: $$ OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\sqrt{OA^{2} + OB^{2}} = \frac{a\sqrt{6}}{2} $$ Xét tam giác $OCM$ vuông tại $O$ có: $$ \tan\widehat{OMC} = \frac{OC}{OM} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{6}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} \Rightarrow \widehat{OMC} \approx 39,2^{\circ} $$ Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(OAB)$ bằng $39,2^{\circ}$.