Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy $(ABCD)$ và $SA = a$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng qua $M, N$ và vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Tính côsin của góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt phẳng $(Q)$.

Lời giải Mặt phẳng $(Q)$ qua $M, N$ vuông góc với đáy $(ABCD)$, song song với đường thẳng $SA$ cắt $SD, SB$ lần lượt tại trung điểm $E, F \Rightarrow EN \perp AC$. Ta có $AC \perp MN$, $AC \perp EN \Rightarrow AC \perp (Q)$ (1). Xét $\Delta SAD$ có $SA = AD = a, SA \perp AD \Rightarrow \Delta SAD$ vuông cân tại $A$. Mà $AE$ là đường trung tuyến nên cũng là đường cao $\Rightarrow AE \perp SD$. Ta có $CD \perp AD, CD \perp SA \Rightarrow CD \perp (SAD) \Rightarrow CD \perp AE$. Mặt phẳng $(SCD)$ chứa cạnh $SC$ và $SD$, ta có $AE \perp SD, AE \perp CD \Rightarrow AE \perp (SCD)$ (2). Từ (1) và (2), ta có: $$ \Big((SCD), (Q)\Big) = (AE, AC) = \widehat{EAC} $$ Áp dụng định lý côsin trong tam giác $EAC$, ta có: $$ \cos\widehat{EAC} = \frac{EA^{2} + AC^{2} - EC^{2}}{2 \cdot EA \cdot AC} = \frac{1}{2} = 0,5 $$