Cho $ ΔABC $. Gọi $ M $, $ N $là các điểm thỏa mãn: $ \overset\rightarrow { MA\, }+\overset\rightarrow { MB\, }=\overset\rightarrow { 0\, } $, $ 2\overset\rightarrow { NA\, }+3\overset\rightarrow { NC }=\overset\rightarrow { 0\, } $và $ \overset\rightarrow { BC\, }=k\overset\rightarrow { BP\, } $. Tìm $ k $ để ba điểm $ M $, $ N $, $ P $thẳng hàng (Làm trón đến chữ số thập phân thứ 2)

Ta có $ \overset\rightarrow { MN }=\overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AM }=\frac { 3 } { 5 }\overset\rightarrow { AC }-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB } $. Mặt khác, $ \overset\rightarrow { NP }=\overset\rightarrow { NC }+\overset\rightarrow { CP }=\frac { 2 } { 5 }\overset\rightarrow { AC }+\left ( { \frac { 1 } { k }-1 } \right )\overset\rightarrow { BC } $. Do $ \overset\rightarrow { BC }=\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB } $, suy ra $ \overset\rightarrow { NP }=\left ( { \frac { 1 } { k }-\frac { 3 } { 5 } } \right )\overset\rightarrow { AC }-\left ( { \frac { 1 } { k }-1 } \right )\overset\rightarrow { AB } $. Ba điểm $ M,N,P $ thẳng hàng khi tồn tại $ m∈\mathbb{R} $ sao cho $ \overset\rightarrow { NP }=m\overset\rightarrow { MN } $. So sánh hệ số theo hai vectơ không cùng phương $ \overset\rightarrow { AB } $ và $ \overset\rightarrow { AC } $, ta được $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { 1 } { k }-\frac { 3 } { 5 }=\frac { 3m } { 5 } \\ \frac { 1 } { k }-1=\frac { m } { 2 } \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} m=4 \\ k=\frac { 1 } { 3 } \end{array} \right. $. Vậy $ k=\frac { 1 } { 3 }≈0{,}33 $.