Cho tứ giác $ ABCD $ có $ M,N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB,CD $. Gọi $ G $ là trung điểm của đoạn thẳng $ MN $ và $ A' $ là trọng tâm tam giác $ BCD $.

a) Đ $ M,N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB,CD $ nên ta có $ \overset\rightarrow { AM }+\overset\rightarrow { BM }=\overset\rightarrow { 0\, };\,\overset\rightarrow { ND }+\overset\rightarrow { NC }=\overset\rightarrow { 0 } $ Ta có $ \overset\rightarrow { AD }+\overset\rightarrow { BC }=\overset\rightarrow { AM }+\overset\rightarrow { MN }+\overset\rightarrow { ND }+\overset\rightarrow { BM }+\overset\rightarrow { MN }+\overset\rightarrow { NC } $ $ =2\overset\rightarrow { MN }+\left ( { \overset\rightarrow { AM }+\overset\rightarrow { BM } } \right )+\left ( { \overset\rightarrow { ND }+\overset\rightarrow { NC } } \right )=2\overset\rightarrow { MN } $. b) Đ. $ G $ là trung điểm của đoạn thẳng $ MN $ nên ta có $ \overset\rightarrow { GM }+\overset\rightarrow { GN }=\overset\rightarrow { 0 } $. $ \overset\rightarrow { GA }+\overset\rightarrow { GB }+\overset\rightarrow { GC }+\overset\rightarrow { GD }=2\overset\rightarrow { GM }+2\overset\rightarrow { GN }=2\left ( { \overset\rightarrow { GM }+\overset\rightarrow { GN } } \right )=2.\overset\rightarrow { 0 }=\overset\rightarrow { 0 } $. c) S. $ \overset\rightarrow { OA }+\overset\rightarrow { OB }+\overset\rightarrow { OC }+\overset\rightarrow { OD }=2\overset\rightarrow { OM }+2\overset\rightarrow { ON }=2\left ( { \overset\rightarrow { OM }+\overset\rightarrow { ON } } \right )=2.2\overset\rightarrow { OG }=4\overset\rightarrow { OG } $. d) S. $ A' $ là trọng tâm tam giác $ BCD $ nên ta có $ \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AC }+\overset\rightarrow { AD }=3\overset\rightarrow { AA' } $. Suy ra $ \overset\rightarrow { AA' }=\frac { 1 } { 3 }\left ( { \overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AC }+\overset\rightarrow { AD } } \right )=\frac { 1 } { 3 }\left ( { \overset\rightarrow { AG }+\overset\rightarrow { GB }+\overset\rightarrow { AG }+\overset\rightarrow { GC }+\overset\rightarrow { AG }+\overset\rightarrow { GD } } \right ) $ $ =\frac { 1 } { 3 }\left ( { 3\overset\rightarrow { AG }-\overset\rightarrow { GA } } \right )=\frac { 1 } { 3 }\left ( { 3\overset\rightarrow { AG }+\overset\rightarrow { AG } } \right )=\frac { 4 } { 3 }\overset\rightarrow { AG } $. Vậy $ \overset\rightarrow { AG }=\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { AA' } $.