Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ có cạnh bên bằng 6 và góc $ \widehat { BAC }=120° $. Điểm $ M $ thuộc cạnh $ AB $ sao cho $ AM=\frac { 1 } { 3 }AB $ và điểm $ N $ là trung điểm của cạnh $ AC $. Tính tích vô hướng $ \overset\rightarrow { BN }.\overset\rightarrow { CM } $?

Ta có: $ \overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AC }=AB.AC.\cos120°=6.6.\left ( { -\frac { 1 } { 2 } } \right )=-18 $. $ \overset\rightarrow { BN }=\overset\rightarrow { AN }-\overset\rightarrow { AB }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB } $; $ \overset\rightarrow { CM }=\overset\rightarrow { AM }-\overset\rightarrow { AC }=\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AC } $. Vậy $ \overset\rightarrow { BN }.\overset\rightarrow { CM }=\left ( { \frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB } } \right ).\left ( { \frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }-\overset\rightarrow { AC } } \right ) $ $ { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }=\frac { 1 } { 6 }\overset\rightarrow { AC }.\overset\rightarrow { AB }-\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC } ^ { 2 } -\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB } ^ { 2 } +\overset\rightarrow { AB }.\overset\rightarrow { AC } \\ { \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }{ \rm{ } }=\frac { 7 } { 6 }.\left ( { -18 } \right )-\frac { 1 } { 2 }.6 ^ { 2 } -\frac { 1 } { 3 }.6 ^ { 2 } $ $ =-51. $