Cho hình bình hành $ ABCD $. Gọi $ M $, $ N $là các điểm lần lượt nằm trên các đoạn thẳng $ AB $và $ CD $sao cho $ \frac { AM } { AB }=\frac { 1 } { 3 } $; $ \frac { CN } { CD }=\frac { 1 } { 2 } $. Gọi $ G $ là trọng tâm của tam giác $ BMN $, $ I $ là điểm xác định bởi $ \overset\rightarrow { BI }=\frac { a } { b }\overset\rightarrow { BC } $ với $ a,b∈\mathbb{R},\frac { a } { b } $ là phân số tối giản. Khi đó để $ A $, $ I $, $ G $ thẳng hàng thì tổng $ a+b $ bằng bao nhiêu?

Giả sử $ \overset\rightarrow { BI }=k\overset\rightarrow { BC } $. Phân tích $ \overset\rightarrow { AI } $, $ \overset\rightarrow { AG } $ theo hai vectơ không cùng phương $ \overset\rightarrow { AB } $, $ \overset\rightarrow { AC } $. Ta có: $ \overset\rightarrow { AI }=\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { BI }=\overset\rightarrow { AB }+k\overset\rightarrow { BC }=\overset\rightarrow { AB }+k\left ( { \overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB } } \right )=\left ( { 1-k } \right )\overset\rightarrow { AB }+k\overset\rightarrow { AC } $. $ G $ là trọng tâm của tam giác $ BMN $nên $ 3\overset\rightarrow { AG }=\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AM }+\overset\rightarrow { AN }=\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AD } $$ =\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { BC } $$ =\frac { 4 } { 3 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AC }+\frac { 1 } { 2 }\left ( { \overset\rightarrow { AC }-\overset\rightarrow { AB } } \right ) $$ =\frac { 5 } { 6 }\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AC } $. hay $ \overset\rightarrow { AG }=\frac { 5 } { 18 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 1 } { 3 }\overset\rightarrow { AC } $. Ba điểm $ A $, $ I $, $ G $ thẳng hàng khi và chỉ khi $ \overset\rightarrow { AI } $, $ \overset\rightarrow { AG } $ cùng phương. Khi đó, ta có $ \frac { 1-k } { \frac { 5 } { 18 } }=\frac { k } { \frac { 1 } { 3 } }⇔\frac { 1 } { 3 }\left ( { 1-k } \right )=\frac { 5 } { 18 }k⇔k=\frac { 6 } { 11 } $ suy ra $ \frac { a } { b }=\frac { 6 } { 11 } $ nên $ a+b=17 $.