Đa thức $ P\left ( { x } \right )=\left ( { 1+x } \right )+2\left ( { 1+x } \right ) ^ { 2 } +3\left ( { 1+x } \right ) ^ { 3 } +...+20\left ( { 1+x } \right ) ^ { 20 } $ được viết dưới dạng: $ P\left ( { x } \right )=a_{ 0 } +a_{ 1 } x+a_{ 2 } x ^ { 2 } +...+a_{ 20 } x ^ { 20 } $. Tính tổng các chữ số của $ a_{ 15 } $.

Ta có: $ 15\left ( { 1+x } \right ) ^ { 15 } =15\left ( { C_{ 15 } ^{ 0 }+C_{ 15 } ^{ 1 }x+...+C_{ 15 } ^{ 15 }x ^ { 15 } } \right ) $ $ 16\left ( { 1+x } \right ) ^ { 16 } =16\left ( { C_{ 16 } ^{ 0 }+C_{ 16 } ^{ 1 }x+...+C_{ 16 } ^{ 15 }x ^ { 15 } +C_{ 16 } ^{ 16 }x ^ { 16 } } \right ) $ $ 17\left ( { 1+x } \right ) ^ { 17 } =17\left ( { C_{ 17 } ^{ 0 }+C_{ 17 } ^{ 1 }x+...+C_{ 17 } ^{ 15 }x ^ { 15 } +C_{ 17 } ^{ 16 }x ^ { 16 } +C_{ 17 } ^{ 17 }x ^ { 17 } } \right ) $ $ 18\left ( { 1+x } \right ) ^ { 18 } =18\left ( { C_{ 18 } ^{ 0 }+C_{ 18 } ^{ 1 }x+...+C_{ 18 } ^{ 15 }x ^ { 15 } +...+C_{ 18 } ^{ 18 }x ^ { 18 } } \right ) $ $ 19\left ( { 1+x } \right ) ^ { 19 } =19\left ( { C_{ 19 } ^{ 0 }+C_{ 19 } ^{ 1 }x+...+C_{ 19 } ^{ 15 }x ^ { 15 } +...+C_{ 19 } ^{ 19 }x ^ { 19 } } \right ) $ $ 20\left ( { 1+x } \right ) ^ { 20 } =20\left ( { C_{ 20 } ^{ 0 }+C_{ 20 } ^{ 1 }x+...+C_{ 20 } ^{ 15 }x ^ { 15 } +...+C_{ 20 } ^{ 20 }x ^ { 20 } } \right ) $. Vậy $ a_{ 15 } =15C_{ 15 } ^{ 15 }+16C_{ 16 } ^{ 15 }+17C_{ 17 } ^{ 15 }+18C_{ 18 } ^{ 15 }+19C_{ 19 } ^{ 15 }+20C_{ 20 } ^{ 15 }=400995 $. Tổng các chữ số của $ a_{ 15 } $ bằng $ 27 $.