(Chuyên Phan Bội Châu - Hà Tĩnh 2025) Trong cuộc gặp mặt dặn dò trước khi lên đường tham gia kì thi học sinh giỏi, có 10 bạn trong đội tuyển gồm 2 bạn đến từ lớp 12A, 3 bạn từ lớp 12B, 5 bạn còn lại đến từ 5 lớp khác (mỗi lớp một bạn). Thầy giáo xếp ngẫu nhiên các bạn kể trên ngồi vào một bàn dài có 10 ghế mà mỗi bên có 5 ghế xếp đối diện nhau. Tính xác suất để không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Số cách xếp 10 bạn học sinh vào bàn dài có 10 ghế là $ n\left ( { Ω } \right )=10! $. Gọi $ A $ là biến cố: “Không có học sinh nào cùng lớp ngồi đối diện nhau”, $ \bar A $ là biến cố: “Có học sinh cùng lớp ngồi đối diện nhau”. Gọi $ A_{ 1 } $: “Hai học sinh lớp 12A ngồi đối diện nhau”; $ A_{ 2 } $: “Hai học sinh lớp 12B ngồi đối diện nhau”. Khi đó $ \bar A=A_{ 1 } ∪A_{ 2 } $. +) Chọn 1 trong 5 cặp ghế đối diện cho 2 học sinh lớp 12A, hoán vị 2 học sinh này rồi xếp 8 học sinh còn lại: $ n\left ( { A_{ 1 } } \right )=C_{ 5 } ^{ 1 }.2!.8!=403200 $. +) Chọn và xếp 2 trong 3 học sinh lớp 12B vào một cặp ghế đối diện ($ A_{ 3 } ^{ 2 } $ cách), chọn 1 trong 5 cặp ghế, rồi xếp 8 học sinh còn lại: $ n\left ( { A_{ 2 } } \right )=A_{ 3 } ^{ 2 }.C_{ 5 } ^{ 1 }.8!=1209600 $. +) Trường hợp cả hai lớp cùng có học sinh ngồi đối diện nhau: $ n\left ( { A_{ 1 } ∩A_{ 2 } } \right )=A_{ 5 } ^{ 2 }.A_{ 3 } ^{ 2 }.6!=86400 $. Do đó $ n\left ( { \bar A } \right )=403200+1209600-86400=1526400 $ và $ P\left ( { \bar A } \right )=\frac { 1526400 } { 3628800 }=\frac { 53 } { 126 } $. Vậy $ P\left ( { A } \right )=1-\frac { 53 } { 126 }=\frac { 73 } { 126 }≈0,6 $.