(Sở Lai Châu 2025) Gọi $ S $ là tập hợp các số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $ A=\{0,1,2,3,4,5,6\} $. Lấy ngẫu nhiên một số từ $ S $. Tính xác suất sao cho lấy được số có dạng $ \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6} $ thỏa mãn điều kiện $ a_{ 1 }+a_{ 2 }=a_{ 3 }+a_{ 4 }=a_{ 5 }+a_{ 6 } $ (kết quả để dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Chọn $ a_{ 1 } $ có 6 cách (từ 1 đến 6). Chọn 5 chữ số còn lại từ 6 chữ số còn lại trong $ A $ (bao gồm 0) và sắp xếp chúng vào 5 vị trí còn lại có $ A_{ 6 } ^{ 5 }=720 $ cách. Vậy số phần tử của không gian mẫu là $ n(Ω)=6×720=4320 $. Gọi E là biến cố: “lấy được số có dạng $ \overline{a_1a_2a_3a_4a_5a_6} $ thỏa điều kiện $ a_{ 1 } +a_{ 2 } =a_{ 3 } +a_{ 4 } =a_{ 5 } +a_{ 6 } $” Gọi $ k=a_{ 1 } +a_{ 2 } =a_{ 3 } +a_{ 4 } =a_{ 5 } +a_{ 6 } $. Tổng 6 chữ số là $ a_{ 1 } +a_{ 2 } +a_{ 3 } +a_{ 4 } +a_{ 5 } +a_{ 6 } =3k $. Các chữ số $ a_{ 1 } ,…,a_{ 6 } $ là 6 chữ số phân biệt được chọn từ $ A=\{0,1,2,3,4,5,6\} $. Tổng nhỏ nhất của 6 chữ số phân biệt từ A là $ 0+1+2+3+4+5=15 $. Tổng lớn nhất của 6 chữ số phân biệt từ A là $ 1+2+3+4+5+6=21 $. Do đó, $ 15\leq 3k\leq 21⇒5\leq k\leq 7 $. Vậy $ k $ có thể nhận các giá trị 5 ; 6 và 7. Trường hợp 1: $ k=5 $ Các cặp số phân biệt trong $ A $ có tổng bằng 5 là: $ \{0;5\},\{1;4\},\{2;3\} $. Tập 6 chữ số được sử dụng là $ \{0;1;2;3;4;5\} $. Ta cẩn sắp xếp 3 cặp này vào các vị trí $ \left ( { a_{ 1 } ;a_{ 2 } } \right ),\left ( { a_{ 3 } ;a_{ 4 } } \right ),\left ( { a_{ 5 } ;a_{ 6 } } \right ) $. Có 3 ! cách sắp xếp các cặp. Trong mỗi cặp $ \{x;y\} $, có 2 cách sắp xếp $ (x;y) $ hoặc $ (y;x) $. Vậy có $ 2 ^ { 3 } $ cách sắp xếp trong các cặp. Tổng số cách sắp xếp ban đẩu là $ 3!×2 ^ { 3 } =6×8=48 $. Tuy nhiên, $ a_{ 1 } $ phải khác 0. Ta cẩn loại bỏ các trường hợp $ a_{ 1 } =0 $. Nếu $ a_{ 1 } =0 $, thì $ a_{ 2 } =5 $. Bộ $ (0;5) $ phải ở vị tri đầu tiên. Còn lại 2 cặp $ \{1;4\} $ và $ \{2;3\} $ cho các vị tri $ \left ( { a_{ 3 } ;a_{ 4 } } \right ) $ và $ \left ( { a_{ 5 } ;a_{ 6 } } \right ) $. Có 2 ! cách sắp xếp 2 cặp này. Trong mỗi cặp còn lại, có $ 2 ^ { 2 } $ cách sắp xếp thứ tự. Số trường hợp $ a_{ 1 } =0 $ là $ 1×2!×2 ^ { 2 } =1×2×4=8 $. Số cách thỏa mãn trong trường hợp $ k=5 $ là $ 48-8=40 $. Trường hợp 2: k = 6 Các cặp số phân biệt trong A có tống bằng 6 là: {0;6},{1;5},{2;4}. Tập 6 chữ số được sử dụng là $ \{0;1;2;4;5;6\} $. Tương tự trường hợp $ k=5 $: Tổng số cách sấp xếp ban đẩu là $ 3!×2 ^ { 3 } =6×8=48 $. Loại bỏ các trường hợp $ a_{ 1 } =0 $. Nếu $ a_{ 1 } =0 $, thì $ a_{ 2 } =6 $. Bộ $ (0;6) $ phải ở vị trí đầu tiên. Còn lại 2 cặp $ \{1;5\} $ và $ \{2;4\} $ cho các vị trí $ \left ( { a_{ 3 } ;a_{ 4 } } \right ) $ và $ \left ( { a_{ 5 } ;a_{ 6 } } \right ) $. Có 2 ! cách sắp xếp 2 cặp này. Trong mỗi cặp còn lại, có $ 2 ^ { 2 } $ cách sẳp xếp thứ tự. Só trường hợp $ a_{ 1 } =0 $ là $ 1×2!×2 ^ { 2 } =1×2×4=8 $. Sớ cách thỏa mān trong trường hợp $ k=6 $ là $ 48-8=40 $. Trường hợp 3: $ k=7 $ Các cặp số phân biệt trong A có tống bằng 7 là: $ \{1;6\},\{2;5\},\{3;4\} $. Tập 6 chữ số được sử dụng là $ \{1;2;3;4;5;6\} $. Trong trường hợp này, không có chữ số 0 nên $ a_{ 1 } $ luôn khác 0. Số cách sắp xếp 3 cặp vào các vị tri là 3 !. Số cách sắp xếp thứ tự trong mối cặp là $ 2 ^ { 3 } $. Số cách thỏa mān trong trường hợp $ k=7 $ là $ 3!×2 ^ { 3 } =6×8=48 $. Do đó số kết quả thuận lợi cho biến cố $ E $ là: $ n(E)=40+40+48=128 $. Xác suất là $ P(E)=\frac { n(E) } { n(Ω) }=\frac { 128 } { 4320 }=\frac { 4 } { 135 }≈0,029629 $.