Bạn Nam tham gia cuộc thi giải một mật thư. Theo quy tắc của cuộc thi, người chơi cần chon ra sáu số từ tập $ S=\left\{41;42;43;44;45;46;47;48;49\right\} $ và xếp mỗi số vào đúng một vị trí trong sáu vị trí $ A,B,C,M,N,P $ như hình bên sao cho mỗi vị trí chi được xếp một số. Mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí $ \left ( { A,M,B } \right );\left ( { B,N,C } \right );\left ( { C,P,A } \right ) $ tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó. Bạn Nam chọn ngẫu nhiên sáu số trong tập $ S $ và xếp ngẫu nhiên vào các vị trí được yêu cầu. Gọi xác suất để bạn Nam giải được mật thư ở lần chọn và xếp đó là $ a $. Giá trị của $ \frac { 4 } { a } $ bằng bao nhiêu?

Số phần tử của không gian mẫu là $ n\left ( { { \rm{ Ω } } } \right )=A_{ 9 } ^{ 6 }=60\,480 $. Vì mật thư sẽ được giải nếu các bộ ba số xuất hiện ở những bộ ba vị trí $ \left ( { A,M,B } \right ) $; $ \left ( { B,N,C } \right ) $; $ \left ( { C,P,A } \right ) $ tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó $ ⇒\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} A+B=2M \\ B+C=2N \\ C+A=2P \\ \end{array} { \rm{   } }⇒A+B+C=M+N+P \end{array} \right. $ Ta có 8 trường hợp: $ 41+43+47=42+44+45;\quad 41+43+49=42+45+46 $ $ 41+45+47=43+44+46;\quad 43+45+49=44+46+47 $ $ 43+47+49=45+46+48;\quad 42+44+48=43+45+46 $ $ 42+46+48=44+45+47;\quad 41+47+49=44+45+48 $ Số cách xếp các bộ số $ A,\,\,B,\,\,C $ thỏa mãn ở mỗi trường hợp là $ 3! $ cách. Ứng với mỗi cách xếp bộ số $ A,\,\,B,\,\,C $ có duy nhất một cách xếp bộ $ M,\,\,N,\,\,P $. Do đó, số cách xếp các bộ $ \left ( { A,M,B } \right ) $; $ \left ( { B,N,C } \right ) $; $ \left ( { C,P,A } \right ) $ tạo thành các cấp số cộng theo thứ tự đó là $ 3!.8 $. Xác suất Nam giải được mật thư là $ a=\frac { 3!.8 } { A_{ 9 } ^{ 6 } }=\frac { 1 } { 1260 } $. Suy ra $ \frac { 4 } { a }=4.1260=5040 $.