Người ta thay nước mới cho một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có độ sâu là $ h_{ 1 } =280 cm $. Giả sử $ h(t) $ là chiều cao (tính bằng cm) của mực nước bơm được tại thời điểm t giây, biết rằng tốc độ tăng của chiều cao mực nước tại giây thứ $ t $ là $ h ^ { ′ } (t)=\frac { 1 } { 500 }\sqrt[3] { t+3 } $và lúc đầu hồ bơi không có nước. Hỏi sau bao nhiêu giây thì nước bơm được $ \frac { 3 } { 4 } $ độ sâu của hồ bơi? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Cho biết $ \int (ax+b) ^ { n } dx=\frac { 1 } { a }\frac { (ax+b) ^ { n+1 } } { n+1 }+C $

Ta biết rằng, chiều cao $ h(t) $ của mực nước bơm được chính là nguyên hàm của tốc độ tăng $ h ^ { ′ } (t) $ của chiều cao mực nước. $ h(t)=\int h ^ { ′ } (t)dt=\int \frac { 1 } { 500 }\sqrt[3] { t+3 }dt=\frac { 3 } { 2000 }(t+3) ^ { \frac { 4 } { 3 } } +C. $ Lúc ban đầu (tại $ t=0 $) hồ bơi không chứa nước, nghĩa là $ h(t)=0⇔\frac { 3 } { 2000 }(0+3) ^ { \frac { 4 } { 3 } } +C=0⇔C=-\frac { 3 ^ { \frac { 7 } { 3 } } } { 2000 }. $ Suy ra mực nước bơm được tại thời điểm $ t $ giây là $ h(t)=\frac { 3 } { 2000 }(t+3) ^ { \frac { 4 } { 3 } } -\frac { 3 ^ { \frac { 7 } { 3 } } } { 2000 }. $ Theo giả thiết, lượng nước bơm được bằng $ \frac { 3 } { 4 } $ độ sâu của hồ bơi nên ta có $ h(t)=\frac { 3 } { 4 }h_{ 1 } ⇔\frac { 3 } { 2000 }(t+3) ^ { \frac { 4 } { 3 } } -\frac { 3 ^ { \frac { 7 } { 3 } } } { 2000 }=\frac { 3 } { 4 }⋅280⇔(t+3) ^ { \frac { 4 } { 3 } }=140004,33⇔t≈7234 $ (s).