Trên mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =2 $ và đồ thị hàm số $ y=x ^ { 2 } $ cắt nhau tại điểm $ A $ nằm trong góc phần tư thứ nhất. Cho $ t $ là số thực thỏa $ 0 < t < 1 $. Đường thẳng $ y=tx $ cắt - đường tròn $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =2 $ tại điểm $ P $ trong góc phần tư thứ nhất, - đồ thị $ y=x ^ { 2 } $ tại điểm $ Q $ trong góc phần tư thứ nhất. Gọi $ S(t) $ là diện tích tam giác $ PAQ $. Người ta xét giới hạn $ \lim\limits_{ t→1 ^ { - } } \frac { S(t) } { (1-t) ^ { 2 } }=k $ Hỏi: giá trị của $ 20k $ bằng bao nhiêu?

Xét giao điểm của đường tròn $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =2 $ và đồ thị hàm số $ y=x ^ { 2 } $ Ta có: $ y+y ^ { 2 } =2⇔(y+2)(y-1)=0 $ vậy suy ra $ A\left ( { 1;1 } \right ) $ Xét giao điểm của đồ thị hàm số $ y=x ^ { 2 } $ với đường thẳng $ y=tx $ Ta có: $ x ^ { 2 } =tx⇔x=t $ vậy suy ra $ Q\left ( { t;t ^ { 2 } } \right ) $ Mà $ PQ=\sqrt[] { 2 }-OQ=\sqrt[] { 2 }-\sqrt[] { t ^ { 2 } (1+t ^ { 2 } ) }=\sqrt[] { 2 }-t\sqrt[] { 1+t ^ { 2 } } $ Xét khoảng cách từ $ A $ đến đường thẳng $ y=tx $ ta có: $ h=\frac { \left | { t-1 } \right | } { \sqrt[] { t ^ { 2 } +1 } }=\frac { 1-t } { \sqrt[] { t ^ { 2 } +1 } } $ vì $ 0 < t < 1 $. Suy ra $ S(t)=\frac { 1 } { 2 }\cdot\left ( { \sqrt[] { 2 }-t\sqrt[] { 1+t ^ { 2 } } } \right )\cdot\left ( { \frac { 1-t } { \sqrt[] { t ^ { 2 } +1 } } } \right ) $ Vậy $ \lim\limits_{ t→1 ^ { - } } \frac { S(t) } { (1-t) ^ { 2 } }=\lim\limits_{ t→1 ^ { - } } \frac { 1 } { 2 }\cdot\frac { 1 } { (1-t) ^ { 2 } }\cdot\frac { \left ( { \sqrt[] { 2 }-t\sqrt[] { 1+t ^ { 2 } } } \right )\left ( { 1-t } \right ) } { \sqrt[] { t ^ { 2 } +1 } }=\lim\limits_{ t→1 ^ { - } } \left[ \frac { 1 } { 2(1-t)\sqrt[] { t ^ { 2 } +1 } }\cdot\frac { 2-t ^ { 2 } -t ^ { 4 } } { \sqrt[] { 2 }+t\sqrt[] { 1+t ^ { 2 } } } \right] \\ =\lim\limits_{ t→1 ^ { - } } \left[ \frac { 1 } { 2(1-t)\sqrt[] { t ^ { 2 } +1 } }\cdot\frac { (t ^ { 2 } +2)(1-t)(1+t) } { \sqrt[] { 2 }+t\sqrt[] { 1+t ^ { 2 } } } \right]=\frac { 1 } { 2\sqrt[] { 2 } }\cdot\frac { 6 } { 2\sqrt[] { 2 } }=\frac { 3 } { 4 } $ Suy ra $ k=\frac { 3 } { 4 }⇒20k=15 $