Đúng/Sai · Câu 3
Cho khối lăng trụ $ ABC.A'B'C' $ có đáy là tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $, các mặt bên là các hình chữ nhật, $ AB=a $, $ AC=a\sqrt[] { 3 } $. Biết rằng $ A'C=a\sqrt[] { 7 } $ và $ N $ là trung điểm của $ AA' $. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Đúng
- c. Sai
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng. Ta có $ A'C'{ \rm{ // } }AC ⇒\left ( { A'C',AB } \right )=\left ( { AC,AB } \right )= \widehat { BAC }=90° $ ( Vì tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $) nên $ A'C'⊥AB $.
b) Đúng. Ta có $ BB'{ \rm{ // } }A'A⇒\left ( { BB',A'C } \right )=\left ( { A'A,A'C } \right )= \widehat { AA'C } $ (vì tam giác $ A'AC $ là tam giác vuông tại $ A $)
c) Sai. Ta có $ BC=\sqrt[] { AB ^ { 2 } +AC ^ { 2 } }=2a $, mặt khác $ AA'=\sqrt[] { A'C ^ { 2 } -AC ^ { 2 } }=2a⇒AN=a $,$ BN=\sqrt[] { AN ^ { 2 } +AB ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } +a ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 2 } $.
d) Đúng. Gọi M là trung điểm của $ BB' $. Dễ thấy $ BN{ \rm{ // } }A'M $. Khi đó $ \left ( { BN,A'C } \right )=\left ( { A'M,A'C } \right ) $
Ta có: $ A'M=BN=a\sqrt[] { 2 } $, $ A'C=a\sqrt[] { 7 } $, $ CM=\sqrt[] { BC ^ { 2 } +BM ^ { 2 } }=a\sqrt[] { 5 } $ nên tam giác $ A'MC $ vuông tại $ M $. Do đó $ \left ( { BN,A'C } \right )=\left ( { A'M,A'C } \right )= \widehat { MA'C }=φ $, $ \cos \widehat { MA'C }=\frac { A'M } { A'C }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { a\sqrt[] { 7 } }=\frac { \sqrt[] { 14 } } { 7 } $.
Vậy $ \cosφ=\frac { \sqrt[] { 14 } } { 7 } $.