Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ SA=BC=2a $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AB,SC $. Biết $ MN=a\sqrt[] { 3 } $khi đó góc giữa $ SA $ và $ BC $ là $ x° $. Tính $ x $.

Gọi $ I $ là trung điểm của $ SB $. Xét $ ΔSAB $ có $ I,M $ lần lượt là trung điểm của $ SB,AB $ nên $ IM $ là đường trung bình trong $ ΔSAB $. $ ⇒IM//SA,IM=\frac { 1 } { 2 }SA=\frac { 1 } { 2 }.2a=a $. Tương tự ta có $ IN//BC $ và $ IN=\frac { 1 } { 2 }BC=a $ Do $ IM//SA $ và $ IN//BC $ nên $ \left ( { AB,CD } \right )=\left ( { IM,IN } \right ) $ Ta tính góc $ \widehat { MIN } $: Áp dụng định lí cosin trong $ ΔIMN $ ta có: $ MN ^ { 2 } =IM ^ { 2 } +IN ^ { 2 } -2.IM.IN.\cos \widehat { MIN } $ $ ⇒3a ^ { 2 } =a ^ { 2 } +a ^ { 2 } -2.a.a.\cos \widehat { MIN } $ $ ⇒\cos \widehat { MIN }=\frac { -1 } { 2 } ⇒ \widehat { MIN }=120° $. Vậy $ \left ( { SA,BC } \right )=\left ( { IM,IN } \right )=180°-120°=60° $. Do đó $ x=60 $.