Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=\left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{ll} \sqrt[] { x-2 }+3 & { \rm{ khi } }x≥2 \\ ax-1 & { \rm{ khi } }x < 2 \\ \end{array} \end{array} \right.. $ Tìm $ a $ để $ \lim\limits_{ x→2 } f\left ( { x } \right ) $ tồn tại.

Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} \lim\limits_{ x→2 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→2 ^ { - } } \left ( { ax-1 } \right )=2a-1 \\ \lim\limits_{ x→2 ^ { + } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→2 ^ { + } } \left ( { \sqrt[] { x-2 }+3 } \right )=3 \end{array} \right.. $ Khi đó $ \lim\limits_{ x→2 } f\left ( { x } \right ) $ tồn tại $ ⇔\lim\limits_{ x→2 ^ { - } } f\left ( { x } \right )=\lim\limits_{ x→2 ^ { + } } f\left ( { x } \right )⇔2a-1=3⇔a=2. $