Trong không gian với $ Oxyz $, xét mặt phẳng $ (P) $ đi qua hai điểm $ A(2;0;0),M(1;1;1) $ và cắt các tia $ Oy,Oz $ lần lượt tại hai điểm $ B,C(B,C $ khác gốc toạ độ $ O) $. Diện tích tam giác $ ABC $ nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.)

Giả sử mặt phẳng $ (P) $ cắt các tia $ Oy,Oz $ theo thứ tự tại các điểm $ B(0;b;0),C(0;0;c) $ với $ b,c>0 $. Suy ra phương trình mặt phẳng $ (P):\frac { x } { 2 }+\frac { y } { b }+\frac { z } { c }=1 $. Do $ M(1;1;1)\in (P) $ nên $ \frac { 1 } { 2 }+\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }=1⇒\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { b }+\frac { 1 } { c }\geq 2\sqrt[] { \frac { 1 } { bc } }⇒bc\geq 16 $. Ta có $ S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }\|[\overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { AC } ]\|=\frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { b ^ { 2 } c ^ { 2 } +4\left ( { b ^ { 2 } +c ^ { 2 } } \right ) }\geq \frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { b ^ { 2 } c ^ { 2 } +8bc } $. Suy ra $ S_{ ABC } \geq \frac { 1 } { 2 }\sqrt[] { b ^ { 2 } c ^ { 2 } +8bc }\geq 4\sqrt[] { 6 } $. Dấu " $ = $ " xảy ra khi và chỉ khi $ b=c=4 $. Khi đó $ minS_{ ABC } =4\sqrt[] { 6 }≈9,8 $.