Bài tập nâng cao · Bài 2
DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách. • Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. 1. Định nghĩa $|A|=\left\{\begin{array}{l}A \text{ khi } A \geq 0 \\ -A \text{ khi } A<0\end{array}\right.$ 2. Tính chất $|A| \geq 0; \ \forall A$ $|A|\cdot|B|=|A\cdot B|; \ |A|^2=A^2$. $|A+B|=|A|+|B| \Leftrightarrow A\cdot B \geq 0$. $|A-B|=|A|+|B| \Leftrightarrow A\cdot B \leq 0$. $|A+B|=\big||A|-|B|\big| \Leftrightarrow A\cdot B \leq 0$. $|A-B|=\big||A|-|B|\big| \Leftrightarrow A\cdot B \geq 0$. • Bình phương hai vế. • Đặt ẩn phụ. Một số dạng thường gặp: Dạng 1. $|f(x)|=g(x) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}f(x) \geq 0 \\ f(x)=g(x)\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}f(x)<0 \\ -f(x)=g(x)\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}g(x) \geq 0 \\ \left[\begin{array}{l}f(x)=g(x) \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right.\end{array}\right.$ Dạng 2. $|f(x)|=|g(x)| \Leftrightarrow [f(x)]^2=[g(x)]^2 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}f(x)=g(x) \\ f(x)=-g(x)\end{array}\right.$. Dạng 3. $a|f(x)|+b|g(x)|=h(x)$.
Bài tập nâng cao Phương trình quy về phương trình bậc hai · Bài 2
a) $|2x-1|=|x^2-3x-4|$.
b) $|3x-2|=|3-2x|$.
c) $|x^2-4x-5|=4x-17$.
d) $|2x-5|+|2x^2-7x+5|=0$.
Xem lời giải
Lời giải
$|2x-1|=|x^2-3x-4| \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}2x-1=x^2-3x-4 \\ 2x-1=-(x^2-3x-4)\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x^2-5x-3=0 \\ x^2-x-5=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{5 \pm \sqrt{37}}{2} \\ x=\frac{1 \pm \sqrt{21}}{2}\end{array}\right.$.
b) Ta có:
$|3x-2|=|3-2x| \Leftrightarrow (3x-2)^2=(3-2x)^2$
$\Leftrightarrow 9x^2-12x+4=4x^2-12x+9 \Leftrightarrow 5x^2=5 \Leftrightarrow x=\pm1$.
c) Ta có:
$|x^2-4x-5|=4x-17 \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}4x-17 \geq 0 \\ (x^2-4x-5)^2=(4x-17)^2\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq \frac{17}{4} \\ (x^2-8x+12)(x^2-22)=0\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq \frac{17}{4} \\ \left[\begin{array}{l}x^2-8x+12=0 \\ x^2-22=0\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x \geq \frac{17}{4} \\ \left[\begin{array}{l}x=2 \lor x=6 \\ x=\pm\sqrt{22}\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=6 \\ x=\sqrt{22}\end{array}\right.$.
d) Ta có:
$|2x-5| \geq 0$ và $|2x^2-7x+5| \geq 0$. Suy ra: $|2x-5|+|2x^2-7x+5| \geq 0$.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{array}{l}|2x-5|=0 \\ |2x^2-7x+5|=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2x-5=0 \\ 2x^2-7x+5=0\end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ \left[\begin{array}{l}x=\frac{5}{2} \\ x=1\end{array}\right.\end{array}\right. \Leftrightarrow x=\frac{5}{2}$.
Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{5}{2}$.