Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $Q, R$ lần lượt là tâm của $BCC'B'$ và $CDD'C'$. Gọi $M$ là giao điểm của $CC'$ và $(AQR)$. Tính $\frac{MC'}{MC}$.

Lời giải Ta có $QR$ là đường trung bình của tam giác $C'BD \Rightarrow BD \parallel QR$. Xét hai mặt phẳng $(AQR)$ và $(ABCD)$ có: $$ \begin{cases} A \in (AQR) \cap (ABCD) \\ QR \subset (AQR) \\ BD \subset (ABCD) \\ BD \parallel QR \end{cases} $$ Suy ra giao tuyến $d$ của $(AQR)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng đi qua $A$, song song với $BD$. Gọi $N = d \cap BC$, $E = NQ \cap BB'$, $M = NQ \cap CC'$ hay $M = (AQR) \cap CC'$. Ta có $ANBD$ là hình bình hành nên $B$ là trung điểm $NC$. Vì $EB \parallel MC \Rightarrow BE = \frac{1}{2}MC$. Mặt khác $QB = QC' \Rightarrow EB = MC' \Rightarrow MC' = \frac{1}{2}MC$ hay $\frac{MC'}{MC} = \frac{1}{2} = 0,5$.