Cho tam giác $ABC$ và các mệnh đề: (I) $\cos\frac{B+C}{2} = \sin\frac{A}{2}$. (II) $\tan\frac{A+B}{2} \cdot \tan\frac{C}{2} = 1$. (III) $\cos(A+B-C) - \cos 2C = 0$. Mệnh đề đúng là:

Lời giải Trong tam giác $ABC$, ta luôn có tổng ba góc: $A + B + C = \pi$. - Xét mệnh đề (I): Ta có: $B + C = \pi - A \implies \frac{B+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}$. Áp dụng công thức góc phụ nhau, ta được: $$\cos\frac{B+C}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}\right) = \sin\frac{A}{2}$$ Do đó, mệnh đề (I) đúng. - Xét mệnh đề (II): Ta có: $A + B = \pi - C \implies \frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$. Áp dụng công thức góc phụ nhau, ta được: $$\tan\frac{A+B}{2} = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \cot\frac{C}{2}$$ Suy ra: $$\tan\frac{A+B}{2} \cdot \tan\frac{C}{2} = \cot\frac{C}{2} \cdot \tan\frac{C}{2} = 1$$ Do đó, mệnh đề (II) đúng. - Xét mệnh đề (III): Ta có: $A + B - C = (A + B + C) - 2C = \pi - 2C$. Áp dụng công thức góc bù nhau, ta được: $$\cos(A + B - C) = \cos(\pi - 2C) = -\cos 2C$$ Suy ra: $$\cos(A + B - C) - \cos 2C = -\cos 2C - \cos 2C = -2\cos 2C$$ Biểu thức này không luôn bằng $0$ với mọi tam giác $ABC$. Do đó, mệnh đề (III) sai. Vậy các mệnh đề (I) và (II) đúng.