Với mọi $\alpha$, biểu thức $A = \cos\alpha + \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right) + \dots + \cos\left(\alpha + \frac{9\pi}{5}\right)$ nhận giá trị bằng:

Lời giải Ta có biểu thức gốc: $$A = \cos\alpha + \cos\left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right) + \dots + \cos\left(\alpha + \frac{9\pi}{5}\right)$$ Nhóm các số hạng đối xứng từ hai đầu lại với nhau: $$A = \left[\cos\alpha + \cos\left(\alpha + \frac{9\pi}{5}\right)\right] + \left[\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{5}\right) + \cos\left(\alpha + \frac{8\pi}{5}\right)\right] + \dots + \left[\cos\left(\alpha + \frac{4\pi}{5}\right) + \cos\left(\alpha + \frac{5\pi}{5}\right)\right]$$ Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích $\cos u + \cos v = 2\cos\frac{u+v}{2}\cos\frac{u-v}{2}$ cho từng nhóm: $$A = 2\cos\left(\alpha + \frac{9\pi}{10}\right)\cos\frac{9\pi}{10} + 2\cos\left(\alpha + \frac{9\pi}{10}\right)\cos\frac{7\pi}{10} + \dots + 2\cos\left(\alpha + \frac{9\pi}{10}\right)\cos\frac{\pi}{10}$$ Đặt nhân tử chung $2\cos\left(\alpha + \frac{9\pi}{10}\right)$ ra ngoài: $$A = 2\cos\left(\alpha + \frac{9\pi}{10}\right)\left(\cos\frac{9\pi}{10} + \cos\frac{7\pi}{10} + \cos\frac{5\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{10} + \cos\frac{\pi}{10}\right)$$ Trong đó $\cos\frac{5\pi}{10} = \cos\frac{\pi}{2} = 0$, và ghép cặp đối xứng còn lại: $$\cos\frac{9\pi}{10} + \cos\frac{\pi}{10} = 2\cos\frac{\pi}{2}\cos\frac{2\pi}{5} = 0, \quad \cos\frac{7\pi}{10} + \cos\frac{3\pi}{10} = 2\cos\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{5} = 0$$ Do đó tổng trong ngoặc bằng $0$, suy ra: $$A = 2\cos\left(\alpha + \frac{9\pi}{10}\right) \cdot 0 = 0$$