Nếu biết $\frac{\sin^4 \alpha}{a} + \frac{\cos^4 \alpha}{b} = \frac{1}{a+b}$ thì biểu thức $A = \frac{\sin^8 \alpha}{a^3} + \frac{\cos^8 \alpha}{b^3}$ bằng:

Lời giải Từ giả thiết $\frac{\sin^4 \alpha}{a} + \frac{\cos^4 \alpha}{b} = \frac{1}{a+b}$, ta biến đổi bằng cách đặt $t = \cos^2 \alpha$ (với $0 \le t \le 1$), suy ra $\sin^2 \alpha = 1 - t$. Thay vào phương trình ta được: $$\frac{(1-t)^2}{a} + \frac{t^2}{b} = \frac{1}{a+b}$$ $$\Leftrightarrow b(1-t)^2 + at^2 = \frac{ab}{a+b}$$ $$\Leftrightarrow b(1 - 2t + t^2) + at^2 = \frac{ab}{a+b}$$ $$\Leftrightarrow (a+b)t^2 - 2bt + b = \frac{ab}{a+b}$$ Nhân cả hai vế với $(a+b)$, ta có: $$(a+b)^2t^2 - 2b(a+b)t + b(a+b) = ab$$ $$\Leftrightarrow (a+b)^2t^2 - 2b(a+b)t + b^2 = 0$$ $$\Leftrightarrow [(a+b)t - b]^2 = 0$$ $$\Leftrightarrow (a+b)t - b = 0 \Leftrightarrow t = \frac{b}{a+b}$$ Từ đó suy ra: $$\cos^2 \alpha = \frac{b}{a+b}$$ $$\sin^2 \alpha = 1 - \frac{b}{a+b} = \frac{a}{a+b}$$ Thay vào biểu thức $A$, ta được: $$A = \frac{\sin^8 \alpha}{a^3} + \frac{\cos^8 \alpha}{b^3} = \frac{(\sin^2 \alpha)^4}{a^3} + \frac{(\cos^2 \alpha)^4}{b^3}$$ $$A = \frac{\left(\frac{a}{a+b}\right)^4}{a^3} + \frac{\left(\frac{b}{a+b}\right)^4}{b^3} = \frac{a}{(a+b)^4} + \frac{b}{(a+b)^4} = \frac{a+b}{(a+b)^4} = \frac{1}{(a+b)^3}$$