Giá trị của biểu thức $A = \sin^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{3\pi}{8} + \sin^2 \frac{5\pi}{8} + \sin^2 \frac{7\pi}{8}$ bằng:

Lời giải Áp dụng các công thức góc liên kết (góc bù và góc phụ), ta có: - Do $\frac{7\pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8}$ (hai góc bù nhau) nên: $\sin \frac{7\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8} \implies \sin^2 \frac{7\pi}{8} = \sin^2 \frac{\pi}{8}$. - Do $\frac{5\pi}{8} = \pi - \frac{3\pi}{8}$ (hai góc bù nhau) nên: $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin \frac{3\pi}{8} \implies \sin^2 \frac{5\pi}{8} = \sin^2 \frac{3\pi}{8}$. Khi đó, biểu thức $A$ được viết lại thành: $$A = 2 \left( \sin^2 \frac{\pi}{8} + \sin^2 \frac{3\pi}{8} \right)$$ Mặt khác, vì $\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$ (hai góc phụ nhau) nên: $\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8} \implies \sin^2 \frac{3\pi}{8} = \cos^2 \frac{\pi}{8}$. Tịnh tiến thay vào biểu thức $A$, ta được: $$A = 2 \left( \sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8} \right) = 2 \cdot 1 = 2.$$ Vậy giá trị của biểu thức $A$ bằng $2$.