Gọi $ m,M $lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số $ y=\sin ^ { 2 } x-sinx+2 $. Khi đó $ M+4m $ là

Đặt $ sinx=u;\,\,u∈\left[ -1;1 \right] $ Xét hàm số: $ y=u ^ { 2 } -u+2 $ trên $ \left[ -1;1 \right] $. Ta có: $ \frac { -b } { 2a }=\frac { 1 } { 2 }∈\left[ -1;1 \right] $. Từ đây có bảng biến thiên Do đó: $ m=miny=\mathop { \min } \limits_{ \left[ -1;1 \right] } f\left ( { u } \right )=\frac { 7 } { 4 }⇔u=sinx=\frac { 1 } { 2 } $ $ ⇔\left[ \begin{array}{l} x=\frac { π } { 6 }+k2π \\ x=\frac { 5π } { 6 }+k2π \end{array} \right.\left ( { k∈\mathbb{Z} } \right ) $. $ M=maxy=\ \mathop { \max } \limits_{ \left[ -1;1 \right] } f\left ( { u } \right )=4⇔u=sinx=-1 ⇔x=\frac { π } { 2 }+k2π $, $ \left ( { k∈\mathbb{Z} } \right ) $. Vậy $ M+4m=11 $.