(THPT Ngô Sĩ Liên - Bắc Giang 2025) Lát cắt của một vùng đất được mô hình hóa bởi hàm bậc ba $ y=f\left ( { x } \right ) $ có đồ thị như hình vẽ dưới (đơn vị trên các trục là km). Biết khoảng cách $ OM=2km $; độ rộng của núi $ MN=3,5km $. Độ sâu của hồ nước là 450m. Chiều cao của ngọn núi là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Hàm số bậc ba $ y=f\left ( { x } \right ) $ có dạng $ y=ax ^ { 3 } +bx ^ { 2 } +cx+d $, $ \left ( { a\neq 0 } \right ) $ Ta có: $ ON=OM+MN=2+3,5=5,5\left ( { km } \right ) $ Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm: $ O\left ( { 0;0 } \right ) $,$ M\left ( { 2;0 } \right ) $ và $ N\left ( { 5,5;0 } \right ) $ Khi đó, phương trình $ f\left ( { x } \right )=0 $ có ba nghiệm phân biệt là $ x=0;x=2;x=5,5 $. $ ⇒f\left ( { x } \right )=k.x\left ( { x-2 } \right )\left ( { x-5,5 } \right ) =k\left ( { x ^ { 3 } -7,5x ^ { 2 } +11x } \right ) $ với đồ thị hàm số $ \lim\limits_{ x\to +\infty } f\left ( { x } \right )=-\infty $ nên $ k < 0 $ Ta có: $ f'\left ( { x } \right )=k\left ( { 3x ^ { 2 } -15x+11 } \right ) $ Xét $ f'\left ( { x } \right )=0⇔k\left ( { 3x ^ { 2 } -15x+11 } \right )=0⇔3x ^ { 2 } -15x+11=0⇔x=\frac { 15±\sqrt[] { 93 } } { 6 } $. Độ sâu của hồ nước là $ 450m=0,45km $ nên ta có giá trị cực tiểu của đồ thị hàm số trên là $ y_{ CT } =-0,45 $. Suy ra, $ f\left ( { \frac { 15-\sqrt[] { 93 } } { 6 } } \right )=-0,45⇔k.\frac { -135+31\sqrt[] { 93 } } { 36 }=-0,45⇔k=\frac { -16,2 } { -135+31\sqrt[] { 93 } } $. Chiều cao của ngọn núi tương ứng với $ y_{ CÐ } =f\left ( { \frac { 15+\sqrt[] { 93 } } { 6 } } \right )≈1,19106\,\left ( { km } \right )≈1191\,\left ( { m } \right ) $. Vậy ngọn núi cao khoảng $ 1191\,m $.