(THPT Lê Quý Đôn - Hà Nội 2025) Một phần đường chạy của tàu lượn siêu tốc (hình 1) khi gắn hệ trục toạ độ $Oxy$ được mô phỏng ở hình 2, đơn vị trên mỗi trục là mét. Biết đường chạy của nó là một phần đồ thị hàm bậc ba $y = ax^{3} + bx^{2} + cx + d \left(0 \le x < 90\right)$; tàu lượn siêu tốc xuất phát từ điểm $A$, đi qua các điểm $C, D$ đồng thời đạt độ cao nhỏ nhất so với mặt đất là $6m$. Độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được là bao nhiêu mét so với mặt đất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Lời giải Dựa vào hình 2 ta thấy đồ thị hàm số $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d \left(a < 0\right)$ và đường thẳng $y = 30$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x = 0, x = 50, x = 80$. Khi đó $f(x) - 30 = ax(x - 50)(x - 80) = a(x^{3} - 130x^{2} + 4000x)$. Suy ra: $$ f(x) = a(x^{3} - 130x^{2} + 4000x) + 30 \Rightarrow f'(x) = a(3x^{2} - 260x + 4000) $$ Giải $f'(x) = 0$: $$ 3x^{2} - 260x + 4000 = 0 \iff \left[\begin{array}{l} x = 20 \\ x = \frac{200}{3} \end{array}\right. $$ Theo bài ra độ cao nhỏ nhất bằng $6$ (tại $x = 20$ vì $a < 0$): $$ f(20) = a(20^{3} - 130 \cdot 20^{2} + 4000 \cdot 20) + 30 = 6 \iff a(8000 - 52000 + 80000) = -24 \iff a \cdot 36000 = -24 \iff a = -\frac{1}{1500} $$ Độ cao lớn nhất mà tàu lượn đạt được tại $x = \frac{200}{3}$: $$ f\left(\frac{200}{3}\right) = -\frac{1}{1500} \cdot \left(\left(\frac{200}{3}\right)^{3} - 130\left(\frac{200}{3}\right)^{2} + 4000\left(\frac{200}{3}\right)\right) + 30 = \frac{3230}{81} \approx 39,9 $$