(THPT Khoa Học Giáo Dục 2025) Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh $90$ cm. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng $x$ (cm) (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm $x$ để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất (Nếu kết quả là số thập phân thì làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải Cạnh của đáy lăng trụ lục giác đều là $90 - 2x$. Diện tích đáy $S$ là diện tích của 6 tam giác đều cạnh $90 - 2x$: $$ S = 6 \cdot \frac{(90 - 2x)^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 4(45 - x)^{2} = 6\sqrt{3}(45 - x)^{2} $$ Chiều cao của lăng trụ là $h = x\sqrt{3}$ (do tam giác cắt ở đỉnh là tam giác vuông cân hoặc dựa trên hình vẽ). Thể tích khối lăng trụ: $$ V = S \cdot h = 6\sqrt{3}(45 - x)^{2} \cdot x\sqrt{3} = 18x(45 - x)^{2} = 18(x^{3} - 90x^{2} + 2025x) $$ Đạo hàm: $$ V' = 18(3x^{2} - 180x + 2025) = 54(x^{2} - 60x + 675) $$ Giải $V' = 0$: $$ x^{2} - 60x + 675 = 0 \iff \left[\begin{array}{l} x = 15 \\ x = 45 \end{array}\right. $$ Với $x = 15$ thì $V$ đạt cực đại. Vậy $x = 15$ cm.