Một vật được phóng lên theo phương ngang một góc $ θ $, với $ 45 ^ { ° } < θ < 90 ^ { ° } $, có vận tốc ban đầu $ v_{ 0 } $ (tính bằng $ m/s $) từ chân một mặt phẳng nghiêng tạo với phương ngang góc $ 45 ^ { ° } $. (Xem hình minh họa.) Nếu bỏ qua sức cản không khí, quãng đường $ R $ mà vật đi dọc theo mặt phẳng nghiêng, khi là hàm của $ θ $, được cho bởi $ R(θ)=\frac { v_{ 0 } ^{ 2 }\sqrt[] { 2 } } { 32 }[\sin(2θ)-\cos(2θ)-1] $ Khi đó $ R $ đạt giá trị dài nhất khi $ θ $ bằng bao nhiêu độ?

Để tìm cực đại của $ R(θ)=K[\sin(2θ)-\cos(2θ)-1] $ với $ K=\frac { v_{ 0 } ^{ 2 }\sqrt[] { 2 } } { 32 }>0 $, ta chỉ cần quan tâm đến biểu thức $ f(θ)=\sin(2θ)-\cos(2θ)-1 $ Biến đổi: $ \sin(2θ)-\cos(2θ)=\sqrt[] { 2 }\left ( { \frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }\sin(2θ)-\frac { 1 } { \sqrt[] { 2 } }\cos(2θ) } \right )=\sqrt[] { 2 }\sin\left ( { 2θ-45 ^ { ° } } \right ) $ Vậy $ f(θ)=\sqrt[] { 2 }\sin\left ( { 2θ-45 ^ { ° } } \right )-1 $ - Hàm $ \sin(α) $ lớn nhất bằng 1 khi $ α=90 ^ { ° } $. - Do đó ta cần $ 2θ-45 ^ { ° } =90 ^ { ° } ⇒2θ=135 ^ { ° } ⇒θ=67,5 ^ { ° } . $ Với giá trị này, $ \sin\left ( { 2θ-45 ^ { ° } } \right )=1 $ khiến $ f(θ) $ đạt cực đại, và do $ K>0 $ nên $ R(θ) $ cũng đạt cực đại tại $ θ=67,5 ^ { ° } $.