(THPT Tân Phong - Bạc Liêu 2024) Sơ đồ cho thấy một phần cấu trúc kim loại của một cây cầu. Khi đó giá trị của $ \sin \widehat { XOY }=\frac { a\sqrt[] { 41 } } { 205 } $ . Tìm $ a $

Ta có $ OY=\sqrt[] { 10 ^ { 2 } +8 ^ { 2 } }=2\sqrt[] { 41 } $ Mặt khác ta có: $ \sin \widehat { AOY }=\frac { 8 } { 2\sqrt[] { 41 } }=\frac { 4\sqrt[] { 41 } } { 41 }⇒\cos \widehat { AOY }=\sqrt[] { 1-\left ( { \frac { 4\sqrt[] { 41 } } { 41 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 5\sqrt[] { 41 } } { 41 } $ (vì góc $ \widehat { AOY } $ là góc nhọn nên $ \cos \widehat { AOY }>0 $) $ \cos \widehat { XOA }=\frac { 6 } { 10 }⇒\sin \widehat { XOA }=\sqrt[] { 1-\left ( { \frac { 6 } { 10 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 4 } { 5 } $(vì góc $ \widehat { XOA } $ là góc nhọn nên $ \sin \widehat { XOA }>0 $) Ta lại có $ \sin \widehat { XOY }=\sin\left ( { \widehat { XOA }+ \widehat { AOY } } \right )=\sin \widehat { XOA }.\cos \widehat { AOY }+\cos \widehat { XOA }.\sin \widehat { AOY } $ $ =\frac { 4 } { 5 }.\frac { 5\sqrt[] { 41 } } { 41 }+\frac { 6 } { 10 }.\frac { 4\sqrt[] { 41 } } { 41 }=\frac { 64\sqrt[] { 41 } } { 410 }=\frac { 32\sqrt[] { 41 } } { 205 } $.