Bài tập nâng cao · Bài 22
F. BÀI TẬP NÂNG CAO Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 22
Cho tập hợp $ X=\left \{ \begin{array}{l} 1;2;3;4;5;6;7;8 \end{array} \right \} $. Lập từ $ X $ số tự nhiên có $ 8 $ chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số vừa lập. Xác suất để số chọn được chia hết cho $ 2222 $ là
Xem lời giải
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu là $ n\left ( { Ω } \right )=8! $.
Gọi $ B $: “ Số chọn được chia hết cho $ 2222 $”.
Ký hiệu số được chọn là $ A=a_{ 1 } a_{ 2 } ...a_{ 8 } =a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } .10000+a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } =9999a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } +\left ( { a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } +a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } } \right ) $.
Vì $ A\vdots 2222 $ nên $ A\vdots 1111 $ và $ a_{ 8 } \in \left \{ \begin{array}{l} 2;{ \rm{ } }4;{ \rm{ } }6;{ \rm{ } }8 \end{array} \right \} $.
Ta có $ a_{ 1 } +a_{ 2 } +...+a_{ 8 } =1+2+...+8=45\vdots 9\Rightarrow A\vdots 9 $. Mà $ A\vdots 1111 $ nên $ A\vdots 9999 $.
Suy ra $ \left ( { a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } +a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } } \right )\vdots 9999 $. Do $ 2000 < a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } +a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } < 18000 $ nên $ a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } +a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } =9999 $.
Do đó $ a_{ 1 } +a_{ 5 } =a_{ 2 } +a_{ 6 } =a_{ 3 } +a_{ 7 } =a_{ 4 } +a_{ 8 } =9 $; ( $ a_{ 8 } \in \left \{ \begin{array}{l} 2;{ \rm{ } }4;{ \rm{ } }6;{ \rm{ } }8 \end{array} \right \} $).
Các bộ có tổng bằng $ 9 $ là $ \left ( { 1;8 } \right ),{ \rm{ } }\left ( { 2;7 } \right ),{ \rm{ } }\left ( { 3;6 } \right ),{ \rm{ } }\left ( { 4;5 } \right ) $.
Suy ra số phần tử của biến cố $ B $ là $ n\left ( { B } \right )=\left ( { C_{ 2 } ^{ 1 } } \right ) ^ { 3 } .4!=192 $.
Vậy xác suất cần tìm là $ P\left ( { B } \right )=\frac { 192 } { 8! } $.
Gọi $ B $: “ Số chọn được chia hết cho $ 2222 $”.
Ký hiệu số được chọn là $ A=a_{ 1 } a_{ 2 } ...a_{ 8 } =a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } .10000+a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } =9999a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } +\left ( { a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } +a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } } \right ) $.
Vì $ A\vdots 2222 $ nên $ A\vdots 1111 $ và $ a_{ 8 } \in \left \{ \begin{array}{l} 2;{ \rm{ } }4;{ \rm{ } }6;{ \rm{ } }8 \end{array} \right \} $.
Ta có $ a_{ 1 } +a_{ 2 } +...+a_{ 8 } =1+2+...+8=45\vdots 9\Rightarrow A\vdots 9 $. Mà $ A\vdots 1111 $ nên $ A\vdots 9999 $.
Suy ra $ \left ( { a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } +a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } } \right )\vdots 9999 $. Do $ 2000 < a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } +a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } < 18000 $ nên $ a_{ 1 } a_{ 2 } a_{ 3 } a_{ 4 } +a_{ 5 } a_{ 6 } a_{ 7 } a_{ 8 } =9999 $.
Do đó $ a_{ 1 } +a_{ 5 } =a_{ 2 } +a_{ 6 } =a_{ 3 } +a_{ 7 } =a_{ 4 } +a_{ 8 } =9 $; ( $ a_{ 8 } \in \left \{ \begin{array}{l} 2;{ \rm{ } }4;{ \rm{ } }6;{ \rm{ } }8 \end{array} \right \} $).
Các bộ có tổng bằng $ 9 $ là $ \left ( { 1;8 } \right ),{ \rm{ } }\left ( { 2;7 } \right ),{ \rm{ } }\left ( { 3;6 } \right ),{ \rm{ } }\left ( { 4;5 } \right ) $.
Suy ra số phần tử của biến cố $ B $ là $ n\left ( { B } \right )=\left ( { C_{ 2 } ^{ 1 } } \right ) ^ { 3 } .4!=192 $.
Vậy xác suất cần tìm là $ P\left ( { B } \right )=\frac { 192 } { 8! } $.