(Sở Lai Châu 2025) Gọi $S$ là tập hợp các số tự nhiên gồm $6$ chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $A=\{0,1,2,3,4,5,6\}$. Lấy ngẫu nhiên một số từ $S$. Tính xác suất sao cho lấy được số có dạng thỏa mãn điều kiện $a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=a_{5}+a_{6}$ (kết quả để dưới dạng số thập phân và làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải Số các số có $6$ chữ số khác nhau được tạo thành từ tập $A$ là: $$ n(\Omega) = 6 \cdot A_{6}^{5} = 4320 $$ Xét các số có dạng $\overline{a_{1}a_{2}a_{3}a_{4}a_{5}a_{6}}$ với $a_{i} \in A$. Gọi $x$ là chữ số thỏa $x \in A \setminus \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6}\}$. Đặt $k = a_{1} + a_{2} = a_{3} + a_{4} = a_{5} + a_{6}$. Nhận xét: Tổng các chữ số trong tập $A$ là: $$ 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 $$ Khi đó: $$ a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} + x = 21 \Rightarrow 3k + x = 21 \Rightarrow x \vdots 3 $$ Vì $x \in A$ và $x \vdots 3$ nên $x \in \{0, 3, 6\}$. Ta xét các trường hợp sau: - Trường hợp 1: $x = 0 \Rightarrow k = 7$; $a_{i} \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Có $6 \cdot 4 \cdot 2 = 48$ số. - Trường hợp 2: $x = 3 \Rightarrow k = 6$; $a_{i} \in \{0, 1, 2, 4, 5, 6\}$. Có $5 \cdot 4 \cdot 2 = 40$ số. - Trường hợp 3: $x = 6 \Rightarrow k = 5$; $a_{i} \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Có $40$ số. Gọi $A$ là biến cố “Lấy được số thỏa mãn điều kiện $a_{1} + a_{2} = a_{3} + a_{4} = a_{5} + a_{6}$”. Khi đó: $$ n(A) = 48 + 40 + 40 = 128 \Rightarrow P(A) = \frac{128}{4320} = \frac{4}{135} \approx 0,03 $$