(Liên trường THPT Ninh Bình 2025) Một bàn cờ vua gồm $ 8 $x$ 8 $ ô vuông, mỗi ô vuông có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình chữ nhật, hai ô hình chữ nhật,...Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn $ 4 $ đơn vị là $ \frac { a } { b } $ với $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản và $ a,b\in \mathbb{Z} $. Khi đó $ T=3a+b $ bằng bao nhiêu?

Ta thấy một bàn cờ vua gồm $ 8 $x$ 8 $ ô vuông gồm có $ 9 $ đoạn thẳng nằm dọc và $ 9 $ đoạn thẳng nằm ngang. Một hình chữ nhật được tạo bởi $ 2 $ đoạn thẳng nằm dọc và $ 2 $ đoạn thẳng nằm ngang. Vậy số hình chữ nhật là $ C_{ 9 } ^{ 2 }.C_{ 9 } ^{ 2 }=1296 $. Suy ra số phần tử của không gian mẫu là: $ n\left ( { Ω } \right )=1296 $. Gọi $ A $ là biến cố: “ Hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn $ 4 $ đơn vị”. Trường hợp 1: $ a=5 $, suy ra mỗi hình vuông tạo thành từ $ 2 $ đoạn thẳng nằm dọc cách nhau $ 5 $ đơn vị và $ 2 $ đoạn thẳng nằm ngang cách nhau $ 5 $ đơn vị, có: $ 4.4=16 $ (hình vuông). Trường hợp 2: $ a=6 $, suy ra mỗi hình vuông tạo thành từ $ 2 $ đoạn thẳng nằm dọc cách nhau $ 6 $ đơn vị và $ 2 $ đoạn thẳng nằm ngang cách nhau $ 6 $ đơn vị, có: $ 3.3=9 $ (hình vuông). Trường hợp 3: $ a=7 $, suy ra mỗi hình vuông tạo thành từ $ 2 $ đoạn thẳng nằm dọc cách nhau $ 7 $ đơn vị và $ 2 $ đoạn thẳng nằm ngang cách nhau $ 7 $ đơn vị, có: $ 2.2=4 $ (hình vuông). Trường hợp 3: $ a=8 $, suy ra mỗi hình vuông tạo thành từ $ 2 $ đoạn thẳng nằm dọc cách nhau $ 8 $ đơn vị và $ 2 $ đoạn thẳng nằm ngang cách nhau $ 8 $ đơn vị, có: $ 1.1=1 $ (hình vuông). Suy ra $ n\left ( { A } \right )=16+9+4+1=30 $. Xác suất của biến cố $ A $ là $ P\left ( { A } \right )=\frac { 30 } { 1296 }=\frac { 5 } { 216 }=\frac { a } { b } $. Suy ra: $ a=5,b=216 $. Vậy $ T=3a+b=3.5+216=231 $.