(Sở Bắc Giang 2025) Trong không gian $ Oxyz $, cho ba điểm: $ A(-2;1;5),\,B(4;3;1),\,C(2;-5;1) $. Gọi $ (\alpha ) $là mặt phẳng chứa trục $ { \rm{ O } }y $ sao cho $ A,B,C $ nằm về cùng phía đối với mặt phẳng $ (\alpha ) $ và $ d_{ 1 } ,d_{ 2 } ,d_{ 3 } $ lần lượt là khoảng cách từ $ A,B,C $ đến $ (\alpha ) $. Giá trị lớn nhất của biểu thức $ T=d_{ 1 } +2d_{ 2 } +3d_{ 3 } $ bằng $ a\sqrt[] { b } $ (với $ a\in N ^ { * } ,\,b $ là số nguyên tố). Tính $ S=98a+99b $.

Mặt phẳng $ (\alpha ) $chứa trục $ { \rm{ O } }y $ có dạng $ ax+cz=0 $ với $ a ^ { 2 } +c ^ { 2 } \neq 0 $. Do $ A,B,C $ nằm về cùng phía đối với mặt phẳng $ (\alpha ) $ nên $ c\neq 0 $. Để đơn giản ta gọi $ (\alpha ):mx+z=0 $ Ta có $ d_{ 1 } =d(A,(\alpha ))=\frac { \left | { 5-2m } \right | } { \sqrt[] { m ^ { 2 } +1 } } $; $ d_{ 2 } =d(B,(\alpha ))=\frac { \left | { 1+4m } \right | } { \sqrt[] { m ^ { 2 } +1 } } $; $ d_{ 3 } =d(C,(\alpha ))=\frac { \left | { 1+2m } \right | } { \sqrt[] { m ^ { 2 } +1 } } $ Khi đó: $ T=d_{ 1 } +2d_{ 2 } +3d_{ 3 } =\frac { \left | { 5-2m+2+8m+3+6m } \right | } { \sqrt[] { m ^ { 2 } +1 } }=\frac { \left | { 12m+10 } \right | } { \sqrt[] { m ^ { 2 } +1 } } $ ( Do $ A,B,C $ nằm về cùng phía đối với mặt phẳng $ (\alpha ) $). $ T=\frac { \left | { 12m+10 } \right | } { \sqrt[] { m ^ { 2 } +1 } }\leq \frac { \sqrt[] { 144+100 }.\sqrt[] { m ^ { 2 } +1 } } { \sqrt[] { m ^ { 2 } +1 } }=2\sqrt[] { 61 } $ Dấu bằng xảy ra khi $ 10m=12⇔m=\frac { 6 } { 5 } $ thoả mãn $ A,B,C $ nằm về cùng phía đối với mặt phẳng $ (\alpha ) $ Khi đó: $ a=2;b=61⇒T=6235. $