(THPT Lê Lợi - Thanh Hóa 2025) Trong không gian $ Oxyz $, cho ba điểm $ A\left ( { 4\,;\,0\,;\,0 } \right ) $,$ B\left ( { -4\,;\,0\,;\,0 } \right ) $ và $ C\left ( { 0\,;\,6\,;\,1 } \right ) $. Gọi $ M $ là một điểm nằm trên mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $ sao cho $ MA+MB=10 $. Tìm giá trị nhỏ nhất của $ MC $? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

$ M $ là điểm trong mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $ thỏa $ MA+MB=10 $ và $ AB=8 $. Suy ra $ M $ thuộc Elip (E) có phương trình $ \frac { x ^ { 2 } } { 25 }+\frac { y ^ { 2 } } { 9 }=1 $. Gọi $ H $ là hình chiếu của $ C\left ( { 0\,;\,6\,;\,1 } \right ) $ lên mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $ suy ra $ H\left ( { 0\,;\,6\,;\,0 } \right ) $. Khi đó $ MC ^ { 2 } =MH ^ { 2 } +CH ^ { 2 } =MH ^ { 2 } +1 $, do đó $ MC_{ \min } ⇔MC ^ { 2 } _{ \min } ⇔MH_{ \min } ^{ 2 } $. Với $ M\left ( { x;\,y;\,0 } \right )\in \left ( { E } \right ) $ ta có $ MH ^ { 2 } =x ^ { 2 } +\left ( { 6-y } \right ) ^ { 2 } $ mà $ x ^ { 2 } =25-\frac { 25y ^ { 2 } } { 9 } $ do đó $ MH ^ { 2 } =25-\frac { 25y ^ { 2 } } { 9 }+\left ( { 6-y } \right ) ^ { 2 } $, với $ y=\left[ -3;\,3 \right] $ $ MH ^ { 2 } =-\frac { 16 } { 9 }y ^ { 2 } -12y+61 $. Xét hàm số $ f\left ( { y } \right )=-\frac { 16 } { 9 }y ^ { 2 } -12y+61,\,\,\,y\in \left[ -3;\,3 \right] $ $ f'\left ( { y } \right )=-\frac { 32 } { 9 }y-12=0⇔y=-\frac { 27 } { 8 }∉\left[ -3;\,3 \right] $ $ f\left ( { -3 } \right )=81;\,\,f\left ( { 3 } \right )=9 $ Do đó $ MH ^ { 2 } _{ min } =9 $$ ⇒MC ^ { 2 } _{ min } =10 $$ ⇒MC_{ min } =\sqrt[] { 10 } $. Vậy giá trị nhỏ nhất của $ MC $là $ \sqrt[] { 10 } $.