Xét khối tứ diện $ ABCD $ có cạnh $ AB=x $, các cạnh còn lại đều bằng $ 2\sqrt[] { 3 } $. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Đúng. Vì tam giác BCD là tam giác đều cạnh $ 2\sqrt[] { 3 } $ nên $ S_{ BCD } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }\left ( { 2\sqrt[] { 3 } } \right ) ^ { 2 } =3\sqrt[] { 3 } $. b) Sai. Gọi $ M $, $ N $ lần lượt là trung điểm $ CD $ và $ AB $; $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ BM $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} CD⊥BM \\ CD⊥AM \end{array} \right.⇒CD⊥\left ( { ABM } \right )⇒\left ( { ABM } \right )⊥\left ( { BCD } \right ) $. Mà $ AH⊥BM $; $ BM=\left ( { ABM } \right )∩\left ( { BCD } \right ) $ nên $ AH⊥\left ( { BCD } \right ) $. Do $ ACD $ và $ BCD $ là hai tam giác đều cạnh $ 2\sqrt[] { 3 }⇒AM=BM=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }⋅2\sqrt[] { 3 }=3 $. Tam giác $ AMN $ vuông tại $ N $, có: $ MN=\sqrt[] { AM ^ { 2 } -AN ^ { 2 } }=\sqrt[] { 9-\frac { x ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { \sqrt[] { 36-x ^ { 2 } } } { 2 } $. Vì tam giác BNM đồng dạng với tam giác BHA nên $ \frac { AH } { MN }=\frac { BA } { BM }⇔AH=\frac { MN.BA } { BM }=\frac { \sqrt[] { 36-x ^ { 2 } } } { 2 }.\frac { x } { 3 }=\frac { \sqrt[] { 36-x ^ { 2 } } } { 6 } $ Vậy $ V_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }AH⋅S_{ BCD } =\frac { 1 } { 3 }⋅\frac { x\sqrt[] { 36-x ^ { 2 } } } { 6 }⋅3\sqrt[] { 3 }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 }x\sqrt[] { 36-x ^ { 2 } } $. c) Sai. Khi $ x=3 $ thì $ V_{ ABCD } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 }.3\sqrt[] { 36-3 ^ { 2 } }=\frac { 9 } { 2 } $. d) Đúng. Ta có: $ V_{ ABCD } =\frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 }x\sqrt[] { 36-x ^ { 2 } }\leq \frac { \sqrt[] { 3 } } { 6 }⋅\frac { x ^ { 2 } +36-x ^ { 2 } } { 2 }=3\sqrt[] { 3 } $. Suy ra $ V_{ ABCD } $ lớn nhất bằng $ 3\sqrt[] { 3 } $ khi $ x ^ { 2 } =36-x ^ { 2 } ⇒x=3\sqrt[] { 2 } $.