Cho hàm số $ y=f\left ( { x } \right ) $ liên tục trên $ \mathbb{R} $ và có đồ thị như hình vẽ sau Tích phân $ \int _{ 0 }^{ 1 } { \left | { f'\left ( { 2x-1 } \right ) } \right | }{ \rm{ d } }x $ bằng

Đáp án : $ 4 $ Đặt $ 2x-1=t\Rightarrow 2{ \rm{ d } }x={ \rm{ d } }t $. Khi đó $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left | { f'\left ( { 2x-1 } \right ) } \right | }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }\int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { f'\left ( { t } \right ) } \right | }{ \rm{ d } }t=\frac { 1 } { 2 }\int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { f'\left ( { x } \right ) } \right | }{ \rm{ d } }x $. Theo đồ thị trên hàm số ta có bảng xét dấu của hàm số $ y=f'\left ( { x } \right ) $ $ I=\frac { 1 } { 2 }\int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { f'\left ( { x } \right ) } \right | }{ \rm{ d } }x=\frac { 1 } { 2 }\left[ -\int _{ -1 }^{ 0 } { f'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x+\int _{ 0 }^{ 1 } { f'\left ( { x } \right ) }{ \rm{ d } }x \right] $ $ =\frac { 1 } { 2 }\left \{ \begin{array}{l} -\left[ f\left ( { 0 } \right )-f\left ( { -1 } \right ) \right]+\left[ f\left ( { 1 } \right )-f\left ( { 0 } \right ) \right] \end{array} \right \} $ $ =\frac { 1 } { 2 }\left[ f\left ( { 1 } \right )-2f\left ( { 0 } \right )+f\left ( { -1 } \right ) \right] $ $ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { 3+4+1 } \right )=4 $. Vậy $ I=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left | { f'\left ( { 2x-1 } \right ) } \right | }{ \rm{ d } }x=4 $.