Cho đường tròn $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =1 $ và đồ thị hàm số $ y=\sqrt[] { x+1 } $ Trên góc phần tư thứ nhất, đường thẳng $ x=t\quad (0 < t < 1) $ lần lượt cắt - đường tròn $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =1 $ tại điểm $ P $, - đồ thị $ y=\sqrt[] { x+1 } $ tại điểm $ Q $. Gọi $ S(t) $ là diện tích tam giác $ OPQ $ (trong đó $ O $ là gốc tọa độ). Hỏi: $ \lim\limits_{ t\to 0 ^ { + } } \frac { S(t) } { t ^ { 2 } }=? $

Ta có tọa độ các điểm $ P\left ( { t;\sqrt[] { 1-t ^ { 2 } } } \right ),Q\left ( { t;\sqrt[] { t+1 } } \right ) $ Khi đó $ PQ=\sqrt[] { t+1 }-\sqrt[] { 1-t ^ { 2 } } $ Nên $ S(t)=\frac { 1 } { 2 }\left ( { \sqrt[] { t+1 }-\sqrt[] { 1-t ^ { 2 } } } \right ).t $ Suy ra $ \begin{array}{l} \lim\limits_{ t\to 0 ^ { + } } \frac { S(t) } { t ^ { 2 } }=\lim\limits_{ t\to 0 ^ { + } } \frac { \left ( { \sqrt[] { t+1 }-\sqrt[] { 1-t ^ { 2 } } } \right ).t } { 2t ^ { 2 } }=\lim\limits_{ t\to 0 ^ { + } } \frac { \sqrt[] { t+1 }-\sqrt[] { 1-t ^ { 2 } } } { 2t }=\lim\limits_{ t\to 0 ^ { + } } \left[ \frac { t+1 } { 2 }.\frac { 1 } { \sqrt[] { t+1 }+\sqrt[] { 1-t ^ { 2 } } } \right] \\ =\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 4 }\end{array} $