Cho hai đồ thị $y=\frac{1}{x}$ và $y=\sqrt{x}$ cắt nhau tại điểm $A(1,1)$. Cho $t>1$. Đường thẳng $y=t$ lần lượt cắt đồ thị $y=\frac{1}{x}$ và $y=\sqrt{x}$ tại các điểm $B$ và $C$. Từ $C$ kẻ đường thẳng song song với trục $Oy$, cắt đồ thị $y=\frac{1}{x}$ tại điểm $D$. Gọi $f(t)$ là diện tích tam giác $ACB$, và $g(t)$ là diện tích tam giác $ADC$. Tính $\lim_{t \to 1^{+}} \frac{g(t)}{f(t)}$.

Lời giải Tọa độ các điểm: $A(1;1), B(\frac{1}{t}; t), C(t^{2}; t), D(t^{2}; \frac{1}{t^{2}})$. Diện tích $f(t)$ (tam giác $ACB$): Đáy $BC = t^{2} - \frac{1}{t}$, chiều cao $h_{A} = t-1$. $$ f(t) = \frac{1}{2}(t^{2} - \frac{1}{t})(t-1) $$ Diện tích $g(t)$ (tam giác $ADC$): Đáy $CD = t - \frac{1}{t^{2}}$, chiều cao $h_{A} = t^{2}-1$. $$ g(t) = \frac{1}{2}(t - \frac{1}{t^{2}})(t^{2}-1) $$ $$ \lim_{t \to 1^{+}} \frac{g(t)}{f(t)} = \lim_{t \to 1^{+}} \frac{t^{2}-1}{t-1} \cdot \frac{t-\frac{1}{t^{2}}}{t^{2}-\frac{1}{t}} = \lim_{t \to 1^{+}} (t+1) \cdot \frac{t(t^{3}-1)}{t^{2}(t^{3}-1)} = 2 \cdot 1 = 2 $$