Cho $ ΔABC $, tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn:$ \left | { 2\overset\rightarrow { MA }+3\overset\rightarrow { MB }+4\overset\rightarrow { MC } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { MB }-\overset\rightarrow { MA } } \right | $ là một đường tròn bán kính $ \frac { AB } { a }(a∈\mathbb{N}*) $. Vậy $ a $ bằng bao nhiêu ?

Vì A, B, C cố định nên ta chọn điểm I thỏa mãn:$ 2\overset\rightarrow { IA }+3\overset\rightarrow { IB }+4\overset\rightarrow { IC }=\overset\rightarrow { 0 } $ $ ⇔2\overset\rightarrow { IA }+3\left ( { \overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { AB } } \right )+4\left ( { \overset\rightarrow { IA }+\overset\rightarrow { AC } } \right )=\overset\rightarrow { 0 }⇔9\overset\rightarrow { IA }=-3\overset\rightarrow { AB }-4\overset\rightarrow { AC }⇔\overset\rightarrow { IA }=-\frac { 3\overset\rightarrow { AB }+4\overset\rightarrow { AC } } { 9 } $ $ ⇒I $ duy nhất. từ đó suy ra $ 2\overset\rightarrow { MA }+3\overset\rightarrow { MB }+4\overset\rightarrow { MC }=9\overset\rightarrow { MI }+\left ( { 2\overset\rightarrow { IA }+3\overset\rightarrow { IB }+4\overset\rightarrow { IC } } \right )=9\overset\rightarrow { MI } $ và $ \overset\rightarrow { MA }-\overset\rightarrow { MB }=\overset\rightarrow { AB } $. Từ giả thiết $ ⇒\left | { 9\overset\rightarrow { MI } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { BA } } \right |⇔MI=\frac { AB } { 9 } $. Vậy $ a=9 $.