Cho $ f\left ( { x } \right ) $ là đa thức thỏa mãn $ \lim\limits_{ x→2 } \frac { f\left ( { x } \right )-20 } { x-2 }=10 $. Tính $ T=\lim\limits_{ x→2 } \frac { \sqrt[3] { 6f\left ( { x } \right )+5 }-5 } { x ^ { 2 } +x-6 } $.

Theo giả thiết có $ \lim\limits_{ x→2 } \left ( { f\left ( { x } \right )-20 } \right )=0 $ hay $ \lim\limits_{ x→2 } f\left ( { x } \right )=20 $ $ \left ( { * } \right ) $ Khi đó $ T=\lim\limits_{ x→2 } \frac { \sqrt[3] { 6f\left ( { x } \right )+5 }-5 } { x ^ { 2 } +x-6 }=\lim\limits_{ x→2 } \frac { 6f\left ( { x } \right )+5-125 } { \left ( { x ^ { 2 } +x-6 } \right )\left[ \left ( { \sqrt[3] { 6f\left ( { x } \right )+5 } } \right ) ^ { 2 } +5\left ( { \sqrt[3] { 6f\left ( { x } \right )+5 } } \right )+25 \right] } \\ T=\lim\limits_{ x→2 } \frac { 6\left[ f\left ( { x } \right )-20 \right] } { \left ( { x-2 } \right )\left ( { x+3 } \right )\left[ \left ( { \sqrt[3] { 6f\left ( { x } \right )+5 } } \right ) ^ { 2 } +5\left ( { \sqrt[3] { 6f\left ( { x } \right )+5 } } \right )+25 \right] } \\ T=\frac { 10\cdot 6 } { 5\cdot 75 }=0,16 $.