Biết giới hạn $ \lim\limits_{ x→2 } \frac { \sqrt[] { 3x+3 }+a } { x-2 }=\frac { b } { c } $, $ a $ là số thực, $ b,\,\,c $ là các số nguyên dương và $ \frac { b } { c } $ tối giản. Tính tổng: $ a+b+c $.

Vì $ \lim\limits_{ x→2 } \left ( { x-2 } \right )=0 $ nên $ \lim\limits_{ x→2 } \left ( { \sqrt[] { 3x+3 }+a } \right )=0 $. Suy ra $ a=-3 $. Với $ a=-3 $ ta được $ \lim\limits_{ x→2 } \frac { \sqrt[] { 3x+3 }-3 } { x-2 }=\lim\limits_{ x→2 } \frac { \left ( { \sqrt[] { 3x+3 }-3 } \right )\left ( { \sqrt[] { 3x+3 }+3 } \right ) } { \left ( { x-2 } \right )\left ( { \sqrt[] { 3x+3 }+3 } \right ) }=\lim\limits_{ x→2 } \frac { 3x-6 } { \left ( { x-2 } \right )\left ( { \sqrt[] { 3x+3 }+3 } \right ) } $ $ =\lim\limits_{ x→2 } \frac { 3 } { \sqrt[] { 3x+3 }+3 }=\frac { 1 } { 2 } $. Vậy $ b=1;c=2 $. Suy ra $ a+b+c=0 $.