Cho hai số thực $ a,b $ thỏa mãn $ \lim\limits_{ x→2 } \frac { ax ^ { 2 } +bx-2 } { x-2 }=5 $. Tính giá trị biểu thức $ S=a+2b $.

Vì $ \lim\limits_{ x→2 } \frac { ax ^ { 2 } +bx-2 } { x-2 }=5 $ là 1 số hữu hạn và $ \lim\limits_{ x→2 } \left ( { x-2 } \right )=0 $ nên $ \lim\limits_{ x→2 } \left ( { ax ^ { 2 } +bx-2 } \right )=0 $ hay $ 4a+2b-2=0⇔b=1-2a $. Khi đó: $ \lim\limits_{ x→2 } \frac { ax ^ { 2 } +bx-2 } { x-2 }=\lim\limits_{ x→2 } \frac { ax ^ { 2 } +\left ( { 1-2a } \right )x-2 } { x-2 }=\lim\limits_{ x→2 } \frac { ax ^ { 2 } +x-2ax-2 } { x-2 }=\lim\limits_{ x→2 } \frac { (ax ^ { 2 } -2ax)+(x-2) } { x-2 } \\ =\lim\limits_{ x→2 } \frac { (x-2)(ax+1) } { x-2 }=\lim\limits_{ x→2 } (ax+1)=2a+1=5⇒a=2 $ Suy ra $ b=-3 $. Vậy $ S=-4 $.