Biết $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }-\sqrt[3] { 7x+1 } } { \sqrt[] { 2 }\left ( { x-1 } \right ) }=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { b }+c $ (với $ a;\,b;\,c∈\mathbb{N} $ và $ \frac { a } { b } $ tối giản). Tính giá trị của $ a+b+c $.

Ta có $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }-\sqrt[3] { 7x+1 } } { \sqrt[] { 2 }\left ( { x-1 } \right ) }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { \frac { x ^ { 2 } +x+2-4 } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }+2 }-\frac { 7x+1-8 } { \sqrt[3] { \left ( { 7x+1 } \right ) ^ { 2 } }+2\sqrt[3] { 7x+1 }+4 } } { \sqrt[] { 2 }\left ( { x-1 } \right ) } $. $ =\lim\limits_{ x→1 } \frac { \frac { x+2 } { \sqrt[] { x ^ { 2 } +x+2 }+2 }-\frac { 7 } { \sqrt[3] { \left ( { 7x+1 } \right ) ^ { 2 } }+2\sqrt[3] { 7x+1 }+4 } } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { \frac { 3 } { 4 }-\frac { 7 } { 12 } } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 12 } $ Suy ra $ a=1;\ b=12;\,c=0⇒a+b+c=13 $.